文档介绍：线性代数二次型及标准形演示文稿
第一页，共三十二页。
（优选）线性代数二次型及标准形
第二页，共三十二页。
一、二次型及其标准形的概念
称为二次型.
第三页，共三十二页。
只含有平方项的二次型
称为二次型线性代数二次型及标准形演示文稿
第一页，共三十二页。
（优选）线性代数二次型及标准形
第二页，共三十二页。
一、二次型及其标准形的概念
称为二次型.
第三页，共三十二页。
只含有平方项的二次型
称为二次型的标准形（或法式）．
例如
都为二次型；
为二次型的标准形.
第四页，共三十二页。
和号表示
矩阵表示
二、二次型的表示方法
第五页，共三十二页。
第六页，共三十二页。
1．用和号表示
对二次型
一般地
第七页，共三十二页。
2．用矩阵表示
第八页，共三十二页。
第九页，共三十二页。
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，
就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对
称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二
次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
第十页，共三十二页。
解
例１
第十一页，共三十二页。
四、化二次型为标准形
第十二页，共三十二页。
第十三页，共三十二页。
设
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求
可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
第十四页，共三十二页。
第十五页，共三十二页。
说明
第十六页，共三十二页。
一、正交变换法
第十七页，共三十二页。
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
第十八页，共三十二页。
解
例2
1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
第十九页，共三十二页。
第二十页，共三十二页。
2．求特征向量
第二十一页，共三十二页。
第二十二页，共三十二页。
第二十三页，共三十二页。
第二十四页，共三十二页。
3．将特征向量正交化单位化
第二十五页，共三十二页。
解
1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
例3
第二十六页，共三十二页。
从而得特征值
2．求特征向量
3．将特征向量正交化
得正交向量组
第二十七页，共三十二页。
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵
第二十八页，共三十二页。
于是所求正交变换为
第二十九页，共三十二页。
五、小结
1.　实二次型的化简问题，在理论和实际中
经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一
一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩
阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请
同学们注意这种研究问题的思想方法．
2.　实二次型的化简，并不局限于使用正交
矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运
算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种
方法——拉格朗日配方法．
第三十页，共三十二页。
化为标准型，并指出表示何种二次
曲面.
求一正交变换，将二次型
思考题
第三十一页，共三十二页。
思考题解答
第三十二页，共三十二页。