文档介绍：演示文稿线性代数二次型及其标准形
第一页，共五十五页。
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（优选）线性代数二次型及其标准形
第二页，共五十五页。
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1. 二次型的定义
定义含有个变量的特征值；
⑶ 求出的两两正交的单位特征向量；
⑷ 用表示在中⑶求得的特征向量构成的矩
阵，写出所求的正交变换和二次型
的标准型.
将对称阵正交相似对角化的步骤：
(1)求特征值；
(2)求两两正交的单位特征向量；
(3)写出正交矩阵和对角阵.
第十七页，共五十五页。
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例1 已知二次型
用正交变换把二次型化为标准形，并写出相
应的正交矩阵.
解析：此题是一道典型例题. 目的是熟悉用正
交变换化二次型为标准形的“标准程序”.
⑴ 写出二次型对应的矩阵
二次型对应的矩阵为
第十八页，共五十五页。
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⑵ 求的特征值
由，求得的特征值为
第十九页，共五十五页。
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⑶ 求的两两正交的单位特征向量
对应，解方程，由
得基础解系为
将其单位化，得
第二十页，共五十五页。
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对应，解方程，由
得基础解系为
将其单位化，得
第二十一页，共五十五页。
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对应，解方程，由
得基础解系为
将其单位化，得
第二十二页，共五十五页。
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⑷ 写出正交矩阵和二次型的标准形
令矩阵
则为正交阵，于是，经正交变换
原二次型化为标准形
第二十三页，共五十五页。
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例1+：求一个正交变换 x = P y ，把二次型
f = －2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
化为标准形（规范形）．
第二十四页，共五十五页。
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例2 已知二次型
的秩为2.
⑴ 求参数以及此二次型对应矩阵的特征值；
⑵ 指出表示何种曲面.
解
⑴ 二次型的矩阵
因为的秩为2，
所以的秩也为2，因而
第二十七页，共五十五页。
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当时，的特征多项式为
第二十八页，共五十五页。
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于是，的特征值为
⑵ 由定理8知，必存在正交变换
其中为正交矩阵(不必具体求出)，使二次型
于是，曲面
这表示准线是平面上椭圆、母线平行于
轴的椭圆柱面.
在新变量下称为标准形
第二十九页，共五十五页。
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第三十页，共五十五页。
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三、惯性定理
定理9
(惯性定理)
设有二次型，它
的秩为，有两个可逆变换
及
使
及
则
正数的个数相等. （证明：P275 ）
中正数的个数与
中
第四十二页，共五十五页。
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说明
二次型的标准形正系数的个数称为二次型的
负系数的个数称为负惯性指数.
正惯性指数；
若二次型的正惯性指数为，秩为，则
的规范形变可确定为
只有用正交变换把二次型化为标准形，标准
形的系数才是二次型矩阵的特征值.
第四十三页，共五十五页。
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例5 下列矩阵中，与矩阵
合同的矩阵是哪一个？为什么？
第四十四页，共五十五页。
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解析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性
定理解题.
容易求得的特征值，
于是