文档介绍：线性代数矩阵的转置对称矩阵
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例
由定义可知,如果记
则
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注:
由于维列向量可看作矩阵, 所以可以线性代数矩阵的转置对称矩阵
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例
由定义可知,如果记
则
.
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注:
由于维列向量可看作矩阵, 所以可以记
维列向量为:
矩阵的转置性质:
证明:
仅证性质(4), 其余留给同学们自证.
.
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设
矩阵, 且
这就证明了
注:
性质(4)可推广多个矩阵相乘的情形, 即
于是
所以
.
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例已知
解法1
解法2
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方阵的行列式
定义由阶方阵的元素所构成的行列式，
叫做方阵的行列式，记作或
运算性质
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对称阵与伴随矩阵
定义
设为阶方阵，如果满足，即
则称　为对称阵.
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
说明
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定义
行列式的各个元素的代数余子式所
构成的如下矩阵
性质
称为矩阵的伴随矩阵.
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例1
设
是一个矩阵, 则和都是
对称矩阵.
证明
是n 阶矩阵, 且有
所以是 n 阶对称矩阵.
同理
是m阶对称矩阵.
例2
设A是阶n反对称矩阵,B是 n阶对称矩阵, 则
AB+BA是n 阶反对称矩阵.
证明
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注意
两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵
例
且若A与B均为对称矩阵,则AB对称的充要条件是
AB=BA
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P56例4
同理可证两个下三角形矩阵的乘积仍为下三角形矩阵
两个上三角形矩阵的乘积仍为上三角形矩阵
故C上三角形矩阵.
由于A是上三角形矩阵,
设
当
时,
所以,
因此,
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例证明任一阶矩阵都可表示成对称阵
与反对称阵之和.
证明
所以C为对称矩阵.
所以B为反对称矩阵.
命题得证.
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4、共轭矩阵
定义
当为复矩阵时，用表示的共轭
复数，记　　　　，　称为的共轭矩阵.
故
同理可得
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运算性质
（设为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）:
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例6 设列矩阵满足
证明
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解
例4
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由此归纳出
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所以对于任意的都有
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用数学归纳法证明
当时，显然成立.
假设时成立，则时，
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