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数值分析课程实验报告——插值逼近

首先根据课本上的Newton插值算法进行编程。此处插值节点选择为等距插值节点，即：
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其中h=。（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。从图中看出，与Newton法对Runge函数的插值结果相比，Newton法对于该分段函数的插值效果显得更加糟糕：不仅在区间两端产生了极强烈的震荡（即Runge现象），就连区间中部也存在较小的上下震荡。因此，从整体来看，几乎所有距插值节点稍远的点都存在较大的偏差，这表明该分段函数在等距节点下的20次Newton插值效果非常不理想。

Lagrange插值
此处同样是根据Lagrange插值的具体算法进行编程。但插值节点不再是等距分布，而是如下形式：
（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。从图中看出，与同样次数的Newton法相比，Lagrange法所得的插值曲线虽然在区间中部的分布与其相似，但在区间两端较好地收敛到了原曲线上，即较好地消除了Runge现象。这同样是因为此处的插值节点不是等距分布的（事实上，此处采用的插值节点正是Chebyshev多项式的零点），而是中间疏两边密，因此两侧较密的节点很好地抑制了Runge现象。
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. Lagrange插值曲线与原曲线对比
分段线性插值
分段线性插值是这几种插值方法中最容易处理的一个，只需要将每个节点对应的函数值求出再将相邻的数据点两两用直线相连即可。此处采用了等距节点，
. 分段线性插值曲线与原曲线对比
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（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。从图中看出，此处分段线性插值的效果较好，二者只在区间中部函数值的突变点附近存在一些偏差，而在其他区域整体上吻合的很好，不存在Runge现象。这是由于分段线性插值通过对插值区间分段的方法将插值函数的次数有效降低，因而即使是等距节点分布，也很好地避免了出现Runge现象的倾向。
三次样条插值
三次样条插值是这四种插值方法中编程最麻烦的，但并不是说存在多大的技术难度，只是因为插值过程中的步骤比较繁琐，因而代码也显得较为冗长。此处依然采用等距节点，（