文档介绍：第三章机器人运动学
第一节概述
第二节机器人的运动学基本问题
第三节机器人的雅可比矩阵
第一节概述
常见的机器人运动学问题可归纳如下：
1．对一给定的机器人，已知杆件几何参数和关节角矢量求机器人末端执行器相对于参考坐标系变换矩阵也可用来表示
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同理，上述例子中，当考虑围绕着轴旋转时（设其旋转量为），可得到如下关系式：
另外，当围绕着轴旋转时（设其旋转量为），可表示为如下关系式：
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可以验证
该矩阵为单位矩阵式中*表示、、中的任何一个。所以有下列等式成立
在分析机器人运动时，当只用围绕一个轴旋转不能表示时，可以通过围绕几个轴同时旋转的组合方式进行表示。
均满足
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3．齐次变换
前面讨论了机器人在进行旋转运动时的坐标变换，一般来说，机器人的运动不仅是旋转运动，有时要做平行移动，或以上两种运动的合成，因此也应考虑平移运动时的坐标变换，即齐次变换。
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现在来看下图的两个坐标系，坐标系是将坐标系单独地平行移动后，再进行适当地旋转得到的坐标系。
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这时，某一点其在坐标系和上的坐标分别为、，可以认为，是由旋转而进行坐标变换后，即乘以旋转坐标变换，在加上表示平移的向量而得到的，因此可写出下列表达式：
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因旋转而进行的坐标变换，与因平移而进行的坐标变换，可以用一个坐标变换矩阵来表示，记为，称这个矩阵为齐次坐标变换矩阵，或简称为坐标变换矩阵，表示为：
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三、机器人的运动学的一般表示
前面所介绍的是任意两个坐标系之间的坐标变换，我们知道，机器人一般是有多个关节组成的，各关节之间的坐标变换可以通过坐标变换相乘后，结合在一起进行求解。如前所述，可以把机器人的运动模型看作是一系列由关节连接起来的连杆机构。一般机器人具有个自由度，为了分析其运动，可将上述方法扩展一下。
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通常把描述一个连杆与下一个连杆间相对关系的齐次变换称为矩阵。一个矩阵就是一个描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换。如果用表示第一个连杆在基系的位置和姿态，表示第二个连杆相对第一个连杆的位置和姿态，那么第二个连杆在基系的位置和姿态可由下列矩阵的乘积求得
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同理，若表示第三个连杆相对第二个连杆的位置和姿态，那么第三个连杆在基系的位置和姿态可由下列矩阵的乘积求得
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于是，对于六连杆的机器人，有下列矩阵成立
一般，每个连杆有一个自由度，则六连杆组成的机器人具有六个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。其中，三个自由度用于规定位置，另外三个自由度用来规定姿态。所以，表示了机器人的位置和姿态。
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对于具有个关节的机器人，若设坐标系为固定在指尖上的坐标系时，则从坐标系到基准坐标系的坐标变换矩阵可由下式给出：
不仅是从坐标系到坐标系的坐标变换，而且同时还可以解释为在基准坐标系上看到的表示指尖位置和方向的矩阵。
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四、机器人运动问题的示例
1．机器人正运动学问题
机器人正运动学问题就是求机器人运动学的正解（forward kinematics），即在给定组成运动副的相邻连杆的相对位置情况下，确定机器人末端执行器的位置和姿态。通过上述分析可知，运动学正解可用一个反映此相对关系的变换矩阵来表示，这里一般是指开式链的机器人结构。
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以一个6自由度的机器人为例，如图所示，在该机器人中，除第3个关节为平移关节外，其余均为旋转关节。
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对于这个机器人，根据图中表示的坐标系为基准坐标系，正运动学问题就是求该机器人末端手指关节6的位置和姿态，也就是在基准坐标系上看关节6，因此找出由到的坐标