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行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直．上面命题中，其中错误的个数是 ．
19、已知l、m、n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题：①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；②若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m；③若l∥⊂α，则l∥α
④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，其中真命题是 ．（填序号）
20、设a，b为两条直线，α，β为两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
（2）若a∥α，b∥α，则a∥b；
（3）若a⊥b，b⊥α，则a∥α；
（4）若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
其中正确命题的个数是 ．
21、如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 ．
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四、综合题
22、如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：面．
五、计算题
23、 如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点。
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的大小。
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参考答案
一、简答题
1、解：（Ⅰ）取的中点为，连结在正三棱柱中面面，
        为正三角形，所以， 故平面．
  以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，――2分
    则，，，，．
   所以，，，
   因为，
    所以，又，
  所以平面．―――－6分
（Ⅱ）由⑴得，所以，，，
    设平面的法向量，平面的法向量，
    由得平面的一个法向量为，
     同理可得平面的一个法向量，
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     由，解得，为所求．――――12分
2、
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3、解：（Ⅰ）如图，过点作于，连接.
平面平面，平面
平面平面于
平面
又平面，
四边形为平行四边形.
平面，平面
平面                          ………5分
（Ⅱ）连接由（Ⅰ），得为中点，又，为等边三角形，
分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则
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，，
，得.
，得.
故二面角的余弦值是.           ………………………10分
4、 (1)取BC的中点F，连结EF、AF，则EF∥PB，
所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成角．
∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，
∴AF＝，AE＝，EF＝；
cos∠AEF＝＝，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.
……………8分
(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为PA＝1，VA－EBC＝VE－ABC＝×(×2×2×)×1＝.
…………12分
5、【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分