文档介绍：第五讲向量与三角函数创新题型的解题技巧
【命题趋向】
综观2007年全国各套高考数学试题,我们发现对三角函数的考查有以下一些知识类型与特点:
、图像及其变换,主要是的性质、、奇偶性、周期性、单调性、有界性、,属中低档题,这些试题对三角函数单一的性质考查较少,一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上,考查的知识点来源于教材.
、变换能力,一般要运用和角、差角与二倍角公式,,属中档题.
、解析几何等为载体,,注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、,属中档题.
,三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题,或选择题与填空题1个,解答题1个,分值在17分—22分之间.
,三角题多以低档或中档题目为主,一般不会出现较难题,更不会出现难题,因而三角题是高考中的得分点.
【考点透视】
、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算.
、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同解三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义.
、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
、余弦函数、正切函数的图象和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图,理解A、ω、ψ的物理意义.
,并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x表示.
、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决解三角形的计算问题.
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常用解题思想方法
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(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β)-β,β=-等。
(3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
(4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。
(5)引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+),这里辅助角所在象限由
a、b的符号确定,角的值由tan=确定。
(6)万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。
。
(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
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(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。
(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。
(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。
【例题解析】
此类题目主要有以下几种题型:
⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力,以及求三角函数的值的基本方法.
⑵考查运用诱导公式、倍角公式,两角和的正弦公式,以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.
⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法,考查三角恒等变形及求角的基本知识.
例1. (2007年重庆卷文)已知函数f(x)= .
(Ⅰ)求f(x)的定义域; (Ⅱ)若角a在第一象限且
命题目的:本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式,同角三角函数的关系等基本知识,考查运算和推理能力,以及求角的基本知识..
解:(Ⅰ)由
故f(x)的定义域为
(Ⅱ)由已知条件得
从而=
= =
例2.(2006年安徽卷)
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求.
命题目的:本小题主要考查同角三角函数的关系式、两角差的公式,倍角公式等基本知识,考查运算和