文档介绍：aij 是一个 n 阶正定矩阵,而
(x1, x2 ,
,xn),
在 Rn 中定义内积( , )
1) 证明在这个定义之下
2) 求单位向量
1(1,0, ,0)
欧氏空间
(y1, y2 ,
,Rn成一欧氏空间23,3
9
1 -(4 4 1) 1 , 9
同理可得
3, 3
1,
即证1, 2, 3也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
V1 L 2, 2, 3 ,其中
, 2, 3, 4, 5也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基
115,2124
求V1的一组标准正交基。
解首先证明1，2，，由
2 , 3,
0
其中A 0
的秩为
3,所以
3线性无关。
将正交化，可得
单位化，有
,2 ,
T( 1
5)
则 1, 2, 3 为 V1
1
2 5,
,10
(1
10
的标准正交基。

2x1 x2
X3
X4
x1 x2
X3
X5
3x5
0
的解空间（作为R5的子空间）的一组标准正交基。
X4
3X5 2x1 X2 X3
X5
X1 X2 X3
3 (0,0,1,4,1),
可得基础解系为
(1,0,0, 5, 1) ,2(0,1,0, 4, 1),
它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得
(1,0,0, 5,
1)
1)
1 )
1
9( 7,9,0, 1, 2)
2)1
三 2(7,6,15,1,2)
2 )15
再将
2,
3单位化，可得
11
—^(1,0,0, 5, 1),2—^( 7,9,0,

1,
1
2),3-^(7,6,15,1,2) ,
3x35
则1,
3就是所求解空间的一组标准正交基。

4中定义内积为（f,g尸
1 r
1 f(x)g(x)dx
R[X] 4的一组标准正交基（由基
1.
3
3出发作正交化
）。
取R[X] 4的一组基为
11,
X,
3 .一,
x ,将其正交化，可得111 ,
1 )
15
1)
1__
1 x?1dx 0,
又因为
(3,
1）
dx
(1,
1）
1?1dx
2,
3, 2)
所以
3,
1)
1)1
3,
2)
2 )
1 3'
同理可得
2,
2)
2)
3)
3 )
再将
4单位化,
即得
c ，3
2x
102
v(3x 1)
3x),
则1,
4即为所求的一组标准正交基。

n维欧氏空间，0是V中一固定向量，
1)证明 :V 1 { x | (x , a) 0, x V } 是 V 的一个子空间；
2)证明 :V 1的维数等于n-1 。
.事实上 ,任取 x1, x2 V1,
证 1) 由于 0 0V1 , 因而 V 1 1 对两种运算封闭
则有 (x1 ,)(x2 ,)0 ，于是又有(x1x2,)(x1) (x2)0 ，
所以 x1 x2 V1 。另一方面，也有
一个子空间。
( kx1 , )
k(x1, ) 0 ,即 kx1 V1。故丫1是 V 的
2,L n ，且 ( i, ) 0
2) 因为 0 是线性无关的，可将其扩充为 V 的一组正交基
(i 2,3, n) ， iV1(i2,3, L n) 。下面只要证明:对任意的V1,可以由 2, 3
线性表出，则 V1 的维数就是n 1 。
k1 k2 2 kn n ，
事实上，对任意的V1 ，都有 V ，于是有线性关系
且( , ) k1( , ) k2( 2, ) kn( n, )，
但有假设知 ( , ) ( i, ) 0(i1,2,,n) ，
所以 k1 ( , ) 0 ，又因为
0 ，故 k1 0 ，从而有 k2 2
k
n n，
再由的任意性，即证。
11 ． 1)证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
2)利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
证：1)设1, 2,, n与1, 2,, n是欧氏空间V的两组不同基，它们对应的度量矩阵
n的过渡矩阵为
分别是A (aj)和B (bj),另外，设1, 2, , 0到1, 2
1c11 1c12 2c1n