文档介绍：高等代数北大版****题参照答案
高等代数北大版****题参照答案
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高等代数北大版****题参照答案
第九章欧氏空间
aij是一个n阶正定矩阵,而
(x1,x2, ,xn), (y1,y2, ,yn),,1,1,3正交。
解设 x1,x2,x3,x4与三个向量分别正交，得方程组
x1
x2
x3
x4
0
x1
x2
x3
x4
0
，
2x1
x2
x3
3x4
0
因为方程组的系数矩阵 A的秩为3，所以可令
x3 1 x1 4,x2 0,x4 3，即 4,0,1,3。
再将其单位化，那么
1
1
4,0,1,3
，
a
26
即为所求。
5．设 1,2, n是欧氏空间V的一组基，证明：
1〕假如 V使 , i 0i 1,2, ,n,，那么 0。
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2〕假如 1,2 V使对任一 V有 1, 2, ，那么 1 2。
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证1)因为 1,2, n为欧氏空间V的一组基，且对 V，有
, i 01,2, ,n ，
所以可设 k11 k2 2 kn n，
且有
即证 0。
2)由题设，对任一 V总有 11 2, ，特别对基 i 也有
11 i 2,i，或许 1 2, i 0i 1,2, ,n，
再由1)可得1
20，即证12。
6设1,2,3 是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：
也是一组标准正交基。
证因为
14 (2) (2) 0，
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同理可得
1, 3 2,3 0，
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另一方面
1
9
同理可得

(4 4 1) 1，
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2, 2 3, 3 1，
即证 1, 2,3也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
,2,3,4,5也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基 , V1 L 2,2,3，此中
1 1 5 , 2 1 2 4 , 3 21 2 3 ，
求V1 的一组标准正交基。
解第一证明 1,2,，由
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1
1
2
0
1
1
(1,2,3)(1,2,3,4,5)0
0
1
，
0
1
0
1
0
0
1 1 2
0 1 1
此中 A 0 0 1的秩为3，所以 1,2,3线性没关。
0 1 0
1 0 0
将正交化，可得
1 1 1 5，
(2,
2)
1
1
2
2
1)
2
1
2
4
2
5，
(1,
单位化，有
2
1
(15)，
2
2
10(
12
224
5)，
10
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3
1(1235)，
2
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那么1,2,3为V1的标准正交基。
求齐次线性方程组
的解空间(作为R5的子空间)的一组标准正交基。
解由
可得根基解系为
1 (1,0,0,5,1)， 2 (0,1,0,4,1)， 3 (0,0,1,4,1)，
它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得
1 1 (1,0,0,5,1)，
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