文档介绍：第三节导数的应用
函数的单调性
函数的极值与最值
函数的单调性
一、引例
二、概念和公式的引出
三、案例
一、引例[路程与速度的关系]
若做直线运动的物体的速度
,则路程
由此可见,函数
单调性与其导数
越来越长.
符号之间存在着必然的联系.
的正负
二、概念和公式的引出
函数单调性的判定方法设函数
在闭区间
上连续,在
开区间
内可导,
(1) 若
,则函数
在闭区间
上单调增加;
,则函数
(2) 若
在闭区间
上单调减少.
三、案例
为在
案例1 [石油蕴藏] 假设
年时地球的石油总蕴藏量
(包括未被发现的),假设没有新的石油产生,并且
以桶为
单位计量,
的单位是什么?它有何意义?它的符号为正还是
负?为什么?
解
假设没有新的石油产生,地球的石油是不可再生资源,
随着对石油的消耗,其总量会越来越少,因此地球的
石油总蕴藏量
是一单调下降函数,
,因为
的单位是桶, t的单位是年,所以
的单位是桶/年.
案例2 [人口增长] 中国的人口总数
(以10亿为单位)在
1993年—1995年间可近似地用方程
来计算,
其中是以1993年为起点的年数,根据这一方程,说明中国
人口总数在这段时间是增长还是减少?
解
中国人口总数在1993—1995年间的增长率
为
因此中国人口总数在1993—1995年期间是增长的.
函数的极值与最值
一、引例
二、概念和公式的引出
三、案例
一、引例[易拉罐的设计]
如果把易拉罐视为圆柱体,你是否注意到可口可乐、
雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径与高之比是
多少?请你不妨去测量一下。
企业常考虑用最低的成本获取最高的利润,在设计易拉罐时,
大饮料公司除考虑外包装的美观之外,还必须考虑在容积一
定(一般为250ml)的情况下,所用材料最少(表面积最小).
在实际问题中,常常遇到求“产量最大”. “成本最低”和“效率最高”等
问题,这类问题在数学上就是求函数的最大值和最小值问题,
统称为最值问题,它是数学上一类常见的优化问题.
二、概念和公式的引出
1、极值与极值点
在点
设函数
的某邻域内取值时有,
则称函数
在点
有极大值(或极小值)
.函数的极小值
统称为极值,使函数取得极值的点
称为函数的极值点.
由此可见,极大值与极小值是一个局部概念.