文档介绍：抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及****题
：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值, 特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高线x a对称
抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
性质1若函数y= f(x)关于直线x = a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
(1) f(a + x) = f(a —x) (2) f(2a— x) = f(x) (3) f(2a + x) = f( — x)
性质2若函数y= f(x)关于点(a, 0)中心对称，则以下三个式子成立且等价：
(1) f(a + x) = —f(a —x) (2) f(2a — x) = — f(x) (3) f(2a + x) = — f( —x)
易知，y = f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1 (或2)当a= 0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(—x)]=f[g(x)],则复数函数y=f[g(x)]为偶函数。
定义2、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(—x)] = —f[g(x)],则复合函数y = f[g(x)]为奇函数。
说明：
(1)复数函数 f[g(x)]为偶函数，则 f[g( — x)] = f[g(x)]而不是 f[ — g(x)] =f[g(x)], 复合函数 y = f[g(x)]为奇函数，则 f[g( — x)] = — f[g(x)]而不是 f[ — g(x)]=一 f[g(x)] 。
(2)两个特例：y = f(x+ a)为偶函数，则 f(x+ a) = f( —x+a)； y = f(x + a)为奇函数，则 f(—x + a) = —f(a + x)
(3) y= f(x + a)为偶(或奇)函数，等价于单层函数 y = f(x)关于直线x=a
轴对称(或关于点( a， 0)中心对称) 3、复合函数的对称性
性质3复合函数y= *2+乂)与丫 = £8—乂)关于直线x= (b —a) /2轴对称
性质4、复合函数y= *2+乂)与y= —f(b—x)关于点((b— a) /2, 0)中心对
称
推论1、复合函数y = f(a + x)与y=f(a—x)关于y轴轴对称
推论2、复合函数丫 = *2 + 乂)与y= — f(a —x)关于原点中心对称
4、函数的周期性
若a是非零常数，若对于函数y = f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之
一成立，则函数y = f(x)是周期函数，且21a电它的一个周期。
① f(x + a) = f(x — a)② f(x + a)= — f(x)
③ f(x + a) = 1/f(x) ④ f(x + a) = — 1/f(x)
5、函数的对称性与周期性
性质5若函数y= f(x)同时关于直线x = a与x = b轴对称，则函数f(x)必为周
期函数，且T = 2|a— b|
性质6、若函数v= f(x)同时关于点(a, 0)与点(b, 0)中心对称，则函数
f(x)必为周期函数，且T = 2|a— b|
性质7、若函数y = f(x)既关于点(a, 0)中心对称，又关于直线x = b轴对称, 则函数f(x)必为周期函数，且T = 4|a— b|
6、函数对称性的应用
(1)若 y f (x)关于点(h,k)对称，则 x x/ 2h,y y/ 2k ,即
f(x) f(x/)
f (x) f(2h x) 2k
f(xi) f(x2)
f(xn) f (2h xn) f(2h xni)
f (2h xi) 2nk
(2)例题
1、 f(x)
. , 1 1 .,
关于点(二1)对称:
f(x)
f (1 x) 1;
4x 1
f(x) 3k
3、f(x a) f (x)
y f(x)的周期为T 2a
2x 1 关于(0,1)对称：f (x) f ( x)
f (x) R,x 0)关于(1」)对称：f (x) f(3 1
x 1 2 2 x
2、奇函数的图像关于原点(0, 0)对称：f(x) f( x) 0。
3、若f(x) f (2a x)或f(a x) f (a x),则y f(x)的图像关于直线
x a对称。设f(x) 0有n个不同的实数根，则
x1 x2 xn x1 (2a x1) x2 (2a x2) xn (2a xn) na.
2 2
(当 n 2k 1时，必有 x1 2a x1, x1 a)
(四)常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、f (x T