文档介绍：分析数学物理方程及其基本任务中山大学工学院动力工程专业学号: 11250906 姓名:卢振威摘要: 在经典数学物理方程中, 以二阶线性偏微分方程为主要研究对象。二阶线性偏微分方程从数学上的分类,在物理上的对应过程及其方程的标准形式。数学物理方程有两大基本任务:导出定解问题和求解相应的定解问题。关键词:经典数学物理方程;二阶线性偏微分方程;两大基本任务一、二阶线性偏微分方程在经典数学物理方程中,以二阶线性偏微分方程为主要研究对象。(一)二阶线性偏微分方程从数学上的分类弦振动方程、热传导方程与拉普拉斯方程, 这三类方程的形状很特殊, 它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异, 往往可以从对这三类方程的研究中得到。我们先研究两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类问题。一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式特殊,若用(x,y) 记自变量,一般的二阶线性方程总可以写成如下的形状: 它关于未知函数 u 及其一、二阶偏导数都是线性的, 其中 fucbbaaa, , , , , , , 2122 12 11 都是自变量 yx, 的已知函数, 假设它们的一阶偏导数在某平面区域 D 内都连续,而且 22 12 11aaa, , 不全为 0。若方程的主部系数在区域Ω中某一点(x0 , y0) 满足, 则称方程在点(x0 , y0) 是双曲型的; 则称方程在点(x0 , y0) 是抛物型的; 则称方程在点(x0 , y0) 是椭圆型的。(二)二阶线性偏微分方程在物理上分别对应的过程如果方程在所讨论的区域 D 内每一点都是双曲型的,那么我们就称方程在区域内是双曲型的。同样,如果方程在所讨论的区域 D 内每点均为抛物型或椭圆型,那么方程在区域 D 内就称作是抛物型或椭圆型的。由于方程的系数 22 12 11aaa, , 是连续函数, 若方程在点(x0 , y0) 是双曲型的; 若方)1(2 2122 12 11f cu ububuauaua yx yy xy xx??????,0 22 11 212????aaa,0 22 11 212????aaa,0 22 11 212????aaa 程在点(x0 , y0) 是椭圆型的,则在点(x0 , y0) 的领域内也是椭圆型的;但方程在点(x0 , y0) 是抛物型的,就不一定在点(x0 , y0) 的领域内也是抛物型的。由上述定义,显然弦振动方程是双曲型的; 一维热传导方程是抛物型的; 二维拉普拉斯方程和珀松方程都是椭圆型的。由于弦振动方程描述的是波的传播现象,它具有对时间是可逆的性质; 热传导方程反映了热的传导、物质的扩散等现象, 这些现象总是由高到低, 由密到疏的,因而是不可逆的; 而拉氏方程所描述的是稳定和平衡状态。这三种方程所描述的自然现象的本质完全不同,所以它们的类型也不相同。三类典型方程在数学性质上的差异往往是相应的物理现象的本质差异在数学上的表现。对于一般的变系数方程,情况更复杂一些,但类似结论仍然成立。对于不同类型的方程来说, 解的光滑性可以很不相同。对于弦振动方程来说, 如果初始条件中高阶的导数不存在, 那么解的高阶导数也就不存在; 对于热传导方程, 只要初始条件是有界的, 那么其解是无穷可微的; 对于拉普拉斯方程, 它的解的光滑性更好, 其解在定义域内都是解析函数。热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理,但它们所采取的形式是有区别的。拉普拉斯方程解的极值只可能存在于边界。至于热传导方程, 区域内部的最大值不能超过区域初始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原理, 这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。从影响区和依赖区来看, 三类方程也有很大区别。波动方程的扰动是以有限速度传播的, 因而其影响区和依赖区是锥体状的。对热传导方程而言, 其扰动传播进行的十分迅速, 某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面, 依赖区是整个初始值区间。拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态,因此不存在扰动传播的问题。(三)各类方程的标准形式变换是研究微分方程的一个有效手段, 通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的,把不易求解的方程转化为容易求解的。方程(1) 的二阶导数项称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下,方程的主部可以得到简化。设(x0,y0) 是区域Ω内一点,在该点的邻域内对方程(1) 进行简化。为此我们作下面的自变量变换在高等数学中, 我们已经知道: 如果上述变换是二次连续可微的, 且雅可比行列式在(x0,y0) 点不为零, 那么在点(x0,y0) 的邻域内, 变换() 是可逆的, 也就是存在逆变换)2(2 22 12 11 yy xy xxuauaua??)3(),( ),