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充分条件与必要条件
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1、命题:
可以判断真假的陈述句,可写成:若p则q。
2、四种命题及相互关系:
逆命题 若q则p
原命题 若p则q
否命题 若 p则 q
逆否命题 若 q则 p
互逆
互逆
互否
互否
互为逆否
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例判断下列命题是真命题还是假命题? (1)若x>a2+b2,则x>2ab。 (2)若ab=0,则a=o。 (3)有两角相等的三角形是等腰三角形。 (4)若a2>b2,则a>b。
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(1)、(3)为真命题。
(2)、(4)为假命题。
如果命题“若p则q”为假,则记作p q。
如果命题“若p则q”为真,则记作p q(或q p)。
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定义:如果,则说p是q的充分条件,q是p的必要条件
p q,相当于P q ,即 P q 或 P、q
从集合角度理解:
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P足以导致q,也就是说条件p充分了;
q是p成立所必须具备的前提。
例1、下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?
若 x=1,则x2-4x+3=0;
若f(x)=x,则f(x)为增函数;
若x为无理数,则x2为无理数.
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解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.
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例2、下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?
若 x=y,则x2=y2;
若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;
若a>b,则ac>bc.
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解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
例3、判断下列命题中前者是后者的什么条件? 后者是前者的什么条件? (1)若a>b,c>d,则a+c>b+d。 (2)ax2+ax+1>0的解集为R,则0<a<4。 (3)若a2>b2,则a>b。
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(1) p q ,
q p
(2) p q ,
q p
(3) p q ,
q p
前者是后者的充分不必要条件。
前者是后者的必要不充分条件。
前者是后者的既不充分也不必要条件。
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例4 、判断下列问题中,p是q成立的什么条件? p q (1) x2>1 x<-1 (2) |x-2|<4 -x2+4x+5>0 (3) xy≠0 x≠0或y≠0
(1)、(2) p q,q p
(3)p q,q p
(原问题 q p)
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