文档介绍：等时圆问题
θ
θ
θ
θ
推论：在最高点由静止开始沿不同的
光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上
的所有光滑弦由静止下滑，到达圆
周最低点的时间相等。
例1：如图3，等时圆问题
θ
θ
θ
θ
推论：在最高点由静止开始沿不同的
光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上
的所有光滑弦由静止下滑，到达圆
周最低点的时间相等。
例1：如图3，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）

图3
A
例2：如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则：（）
A、a球最先到达M点 B、b球最先到达M点
C、c球最先到达M点 D、d球最先到达M点
A
B
C
D
M
图4
答案：C
2、运用等效、类比自建“等时圆”
例3：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离。
A
B
P
H
h
O
图5
图6
A
B
P
H
h
O
O1
解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。
如图6所示，此时等时圆的半径为：
所以
图6
A
B
P
H
h
O
O1
例1：如图7， AB是一倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　　解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图所示，C为切点，O为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹
角等于。
A
θ
B
图7
P
P
A
θ
B
图8
C
O
θ
三、“形似质异”问题的区分
1、如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从a、b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？
解析：bd的长为2Rcosθ，bd面上物体下滑的加速度为
a=gcosθ-μgsinθ，
tbd=
=2
可见t与θ有关。
图1
x
y
mg
θ
2、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（）
A、a处小孩最先到O点 B、b处小孩最先到O点
C、c处小孩最先到O点 D、a、c处小孩同时到O点
θ
a
O
b
c
解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则
当θ=450时，t最小，当θ=300和600时，sin2θ的值相等。
如图所示：d、c 为圆的最高点和最低点，P为圆上一点，Pa、Pb、Pc 为圆上的三条弦，在三条弦所在的位置分别放置三根光滑的细杆，一个圆环由静止开始从P 点分别沿三条弦滑至a、b、c 三点用的时间分别为 ta、tb、tc则
>tb>tc. =tb=tc
C ta<tb<tc. =tb>tc
P
c
b
a
d
答案：A
解析如图示：
P
c
b
a
d