AGZ北京大峪中学高中三年 级数学组.ppt

文档介绍：第二章极限
一数学归纳法







(1)
问题情境
问题 1:大球中有5个小球,如何证明它们都是绿色的?
问题 2: 如果{an}是一个等差数列,怎样得到 an=a1+(n-1)d
完全归纳法
不完全归纳法
模拟演示
在等差数列{an}中,已知首项为a1,公差为d,那么
a1=a1+0d, a2=a1+1d, a3=a1+2d,
a4=a1+3d, …, an=?
归纳
an=a1+(n1)d,
问题情境二
数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例:
归纳法:由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.
(结论一定可靠,但需逐一核对,实施较难)
(结论不一定可靠,但有利于发现问题,形成猜想)
归纳法
(1)完全归纳法:考察全体对象,得到一般结论的推理方法
(2)不完全归纳法:考察部分对象,得到一般结论的推理方法
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法
?
对任何nN*, 2n<n2+2
{an}中,已知首项为a1,公差为d,那么
a1=a1+0d, a2=a1+1d, a3=a1+2d,
a4=a1+3d, …, an=?
归纳
an=a1+(n1)d,
+2 (nN*)的大小
验证可知:n=1、2、3、4都有2n<n2+2
如n=5时2n>n2+2
完全归纳法:
优点:考查全面,结论正确。
缺点:工作量大,有些对象无法全面考查。
不完全归法:
优点:考查对象少,得出结论快。
缺点:观察片面化,结论不一定正确。
问题情境
如何解决不完全归纳法存在的问题呢?
多米诺骨牌课件演示
如何保证骨牌一一倒下?需要几个步骤才能做到?
(1)处理第一个问题;(相当于推倒第一块骨牌)
(2)验证前一问题与后一问题有递推关系;
(相当于前牌推倒后牌)
数学归纳法
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性:
(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时结论正确;
(2)假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时结论正确,
证明当n=k+1时结论也正确.
在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从n0开始的所有
正整数n都正确.
这种证明方法叫做数学归纳法
+3+5+…+(2n1)=n2
证明: (1) 当n=1时
左=1,右=12=1
∴n=1时,等式成立
(2) 假设n=k时,等式成立,即1+3+5+…+(2k1)=k2
那么,当n=k+1时
左=1+3+5+…+(2k1)+[2(k+1)-1]
=k2+2k+1
=(k+1)2=右
即n=k+1时等式成立
由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立
递推基础
递推依据