文档介绍：1 不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设( ) f x , x I ?,若存在函数( ) F x ,使得对任意 x I ?均有( ) ( ) F x f x ??或( ) ( ) dF x f x dx ?,则称( ) F x 为( ) f x 的一个原函数。( ) f x 的全部原函数称为( ) f x 在区间 I 上的不定积分,记为( ) ( ) f x dx F x C ? ??注:(1 )若( ) f x 连续,则必可积;(2 )若( ), ( ) F x G x 均为( ) f x 的原函数,则( ) ( ) F x G x C ? ?。故不定积分的表达式不唯一。性质性质 1: ( ) ( ) d f x dx f x dx ? ??? ??或( ) ( ) d f x dx f x dx ? ??? ??; 性质 2: ( ) ( ) F x dx F x C ?? ??或( ) ( ) dF x F x C ? ??; 性质 3: [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx ? ? ??? ??? ??,, ??为非零常数。计算方法第一换元积分法(凑微分法) 设( ) f u 的原函数为( ) F u , ( ) u x ??可导,则有换元公式: ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) f x x dx f x d x F x C ? ? ????? ??? ?第二类换元积分法设( ) x t ??单调、可导且导数不为零, [ ( )] ( ) f t t ? ??有原函数( ) F t , 则1 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) f x dx f t t dt F t C F x C ? ? ???? ????? ?分部积分法( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x dx u x dv x u x v x v x du x ?? ??? ? ?有理函数积分若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和;对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知--- 求定积分的问题,实质上是求被积函数的原函数问题; 后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最终的解决都归结为对定积分的求解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲,不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用,积分的问题会不会求解及求解的快慢程度,几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学****的深入,同学们会慢慢体会到! 课后****题全解****题 4-1 : 知识点: 直接积分法的练****求不定积分的基本方法。思路分析: 利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! 2 ★(1) 2dx x x ?思路: 被积函数 5221x x x ??,由积分表中的公式( 2)可解。解: 5 3 2 2 223 dx x dx x C x x ? ?? ???? ?★(2) 31 ( ) x dx x ??思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: 1 1 4 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 3 ( ) ( ) 2 4 dx x x dx x dx x dx x x C x ? ?? ???????? ??? 3x ★(3)22 x x dx ??() 思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: 2