文档介绍：第4章　不定积分
内容概要
名称
主要内容
不
定
积
分
不
定
积
分
的
概
念
设, ,若存在函数，使得对任意均有
或，则称为的一个原函数.
的全部原函数称为在区间上的不定积分，记为
注:（１）若连续,则必可积；（2）若均为的原函数,则。故不定积分的表达式不唯一。
性
质
性质1：或;
性质2：或；
性质3：，为非零常数。
计
算
方
法
第一换元
积分法
（凑微分法)
设的原函数为，可导,则有换元公式：
第二类
换元积
设单调、可导且导数不为零,有原函数，则
分法
分部积分法
有理函数积分
若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和;对真分式的处理按情况确定。
本章
的地
位与
作用
在下一章定积分中由微积分基本公式可知－--求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最终的解决都归结为对定积分的求解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲,不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，,同学们会慢慢体会到！
　　　　　课后****题全解<br****题4－１
：
知识点：直接积分法的练****求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分！
★（1）
思路: 被积函数，由积分表中的公式(2）可解。
解:
★(2)
思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。　
解：
★(3)
思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
★（4）
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。
解:
★★(5）
思路：观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分.
解：
★★（6)
思路：注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项,分别积分。
解：
注：容易看出（5）（6）两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分.
★（7）
思路:分项积分。
解:
★（８)
思路：分项积分。
解：
★★(9）
思路：?看到，直接积分。
解：
★★（１０）
思路：裂项分项积分。
解:
★（１1)
解：
★★（1２）
思路：初中数学中有同底数幂的乘法: 指数不变，底数相乘。显然.
解:
★★（13)
思路:应用三角恒等式“”。
解：
★★（14）
思路:被积函数 ,积分没困难.
解：
★★(15)
思路：若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂，再积分.
解：
★★（1６）
思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分.
解:
★(１7）
思路：不难，关键知道“”。
解：
★（18)
思路：同上题方法，应用“"，分项积分。
解:
★★(19）
思路：注意到被积函数　，应用公式（5）即可。
解：
★★（20）
思路:注意到被积函数，则积分易得。
解：
★2、设，求.
知识点：考查不定积分(原函数)与被积函数的关系.
思路分析：直接利用不定积分的性质1:即可。
解：等式两边对求导数得:
★3、设的导函数为，求的原函数全体.
知识点:仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。
思路分析：连续两次求不定积分即可.
解：由题意可知,
所以的原函数全体为:。
★４、证明函数和都是的原函数
知识点:考查原函数（不定积分)与被积函数的关系。
思路分析：只需验证即可。
解:,而
★5、一曲线通过点，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。
知识点：属于第１2章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可.
解：设曲线方程为，由题意可知：,;
又点在曲线上，适合方程，有，
所以曲线的方程为
★★6、一物体由静止开始运动，经秒后的速度是,问:
在秒后物体离开出发点的距离是多少？
物体走完米需要多少时间？
知识点:属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分)与被积函数的关系。
思路分析：求得物体