文档介绍：不等式与集合、函数、实际问题等交汇
1. 设集合,.
(1)求集合;
(2)若不等式的解集为,求,的值.
2. 已知:命题是的反函数,且;
命题集合,且,试求实数的取值范围使得命题有且只有一个真命题
3. 某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率与日产量(万件)之间大体满足关系:
(其中为小于6的正常数)
(注:次品率=次品数/生产量,如表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额(万元)表示为日产量(万件)的函数
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
4. 已知二次函数对任意,都有成立,设向量(sinx,2),(2sinx,),(cos2x,1),(1,2),当[0,]时,求不等式f()>f()的解集.
5. 已知函数。
(Ⅰ)若为奇函数,求a的值;
(Ⅱ)若在上恒大于0,求a的取值范围。
6. 如图,四边形ABCD是一个边长为100米的正方形地皮,其中ATPS是一半径为90米的扇形小山,其余部分都是平地,P是弧TS上一点,现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR.
(Ⅰ)若∠PAT=θ,试写出四边形RPQC的面积S关于θ
的函数表达式,并写出定义域;
(Ⅱ)试求停车场的面积最大值。
7. 已知b>-1,c>0,函数的图象与函数的图象相切.
(Ⅰ)设
(Ⅱ)是否存在常数c,使得函数内有极值点?若存在,求出c的取值范围;若不存在,请说明理由.
8. 已知函数,若存在,则称是函数的一个不动点,设
(Ⅰ)求函数的不动点;
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的二个不动点a、b(假设a>b),求使恒成立的常数k的值;
(Ⅲ)对由a1=1,an=定义的数列{an},求其通项公式an.
9. 已知函数
(Ⅰ)求证:函数是偶函数;
(Ⅱ)判断函数分别在区间上的单调性,并加以证明.
10. 已知函数f(x)=ax3+x2-x (a∈R且a≠0)
(1)若函数f(x)在(2,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.
(2)证明:当a>0时,函数在f(x)在区间()上不存在零点
11. 设不等式组所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f(n)(n∈N*).
(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式;(可以不作证明)
(2)记,若对于一切正整数n,总有Tn≤m成立,求实数m的取值
范围.
(3)求证:当n∈N+时,
12. 已知向量,向量.
(1)已知常数满足≤≤2,求使不等式≥成立的的解集;
(2)求使不等式≥对于一切恒成立的实数取值集合.
答案:
1. 解:,
,
(1);
(2)因为的解集为,
所以为的两根,
故,所以,.
2. 解:因为,所以
由得,解得
因为,故集合应分为和两种情况
(1)时,
(2)时,
所以得
若真假,则
若假真,则
故实数的取值范围为或
3. 解:(1)当时,,
当时,,
综上,日盈利额(万元)与日产量