文档介绍：第1节函数与反函数
第二章函数
要点·疑点·考点
设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有惟一的元素和它对应,那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B .给定一个集合A到B的映射,且a∈A,b∈,那么,我们把元素b叫做
元素a的象,元素a叫做元素b的原象
设f:A→,对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象,而且B中每一个元素都有原象,那么这个映射就叫做A到B上的一一映射.
(1)传统定义:如果在某个变化过程中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确
定的值,按照某个对应法则f,y都有惟一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,记作y=f(x)
(2)近代定义:函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射.
函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊映射.
:解析式法、列表法、图象法.
. 设函数y=f(x)的定义域、值域分别为A、,得到x=φ(y),且对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)=f-1(y)一般改写为y=f-1(x)
答案:
(1)D
(2)y=-log3(x+1)(x≥0)
(3)[-1,+∞)
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,则x0的取值范围是( )
(A)(-1,1) (B)(-1,+∞)
(C)(-∞,-2)∪(0,+∞) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
=3-x-1(x≤0)的反函数是__________
=f(x)的反函数f-1(x)=x-1(x≥0),那么函数y=f(x)的定义域是__________
答案:
(4) B (5) C
{-2,-1,0,1,2}的函数f(x)满足f(±2)=1,f(±1)=2,f(0)=0,则( )
(A)f(x)无最值(B)f(x)是偶函数
(C)f(x)是增函数(D)f(x)有反函数
=f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1,则f(1)等于( )
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)4
能力·思维·方法
【解题回顾】①如果f:A→B是一一映射,则其对应法则f如何;②若card(A)=3,card(B)=2,映射f:A→B所有可能的对应法则f共有多少个?
={a,b},B={0,1},试列出映射f:A→B的所有可能的对应法则f.
【解题回顾】由函数y=f(x)求它的反函数y= f-1(x)的一般步骤是:(1)判断y=f(x)是否存在反函数(但书写时,此步骤可以省略);(2)若存在反函数,由y=f(x)解出x=f-1(y);(3)根据习惯,对换x、y,改写为y=f-1(x);(4)根据y=f(x)的值域确定反函数的定义域
:
(1) y=1/2[ln(x-5)+1](x>5);
(2)y=x2+2x(x≥0)
【解题回顾】求f-1(a)的值,解一是先求函数f(x)的反函数f-1(x),再求f-1(a)的值;解二是根据原函数f(x)与它的反函数f-1(x)的定义域与值域间的关系,转化为求方程f(x)=a解的问题解一是常规解法,解二较简便.
(x)=2x/(1+2x)(x∈R),求f-1(1/3)的值
【解题回顾】若函数f(x)存在反函数f-1(x),则f(a)=b, f-1(b)=a.
(x)=ax+k的图象过点A(1,3),且它的反函数y=f-1(x)的图象过点B(2,0),求f(x)的表达式.
【解题回顾】类似地可以证明:若原函数为奇函数,且存在反函数,则反函数也为奇函数.
:原函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)在相应的定义域具有相同的单调性.
【解题回顾】、值域、函数的特征取若干点画出一个比较易画的函数的图象,然后再利用它们的图象关于直线y=x的对称性画出另一个函数的图象.
,求它的反函数,
并作出反函数的图象
延伸·拓展