FAO高中三年级数学 复习课1.ppt

文档介绍：高三数学复习课
复习内容:空间中的角
复习要求:理解空间三种角的概念并掌握其求法
空间的角的概念及其计算,是立体几何的基本内容,也是其重点和难点。
求空间角的一般步骤是:
空间中的角有:
异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。
1、异面直线所成的角
根据异面直线所成角的定义,求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有:
(1)平移法:即根据定义,以“运动”的观点,用“平移转化”的方法,使之成为相交直线所成的角。
(1)找出或作出有关的图形;(2)证明它符合定义; (3)计算。
[即:要求先证,要证先作。]
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线,构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形,再求之。
空间中的角
B
例1:长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=AA1=2 cm, AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成的角。
如图,连B1D1与A1C1 交于O1,
O1
M
由余弦定理得
A1C1与BD1所成的角为
取BB1的中点M,连O1M,则O1MD1B,
于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角(或其补角),连A1M,在A1O1M中
(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体等,其目的在于易于发现两条异面直线的关系。
D
B
1
A
1
D
1
C
1
A
C
解法一(平移法):
在A1C1E中,
由余弦定理得
A1C1与BD1所成的角为
说明:异面直线所成角的范围是,在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角,常用余弦定理求其大小,当余弦值为负值时,其对应角为钝角,这不符合两条异面直线所成角的定义,故其补角为所求的角,这一点要注意。另外,当异面直线垂直时,应用线面垂直的定义或三垂线定理(或逆定理)判定所成的角为90º,也是不可忽视的办法。
如图,补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 BC1的方体B1F,
连结A1E,C1E,则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角),
F1
E
F
E1
B
D
B
1
A
1
D
1
C
1
A
C
解法二(补形法):
2、直线和平面所成的角
直线与平面平行或在平面内,直线和平面所成的角的是0º;
斜线和平面所成的角是:斜线及斜线在平面上的射影所成的角。
例2:如图,斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等腰直角三角形,直角边AB=AC=2cm,侧棱与底面成60º角,BC’AC,BC’=26cm,求BC’与底面所成的角。
A’
B’
C’
B
A
C
O
分析:欲求BC’与底面ABC所成的角,关键在于准确地找到BC’在底面上的射影。注意到ACAB和ACBC’,即AC平面ABC’,所以,平面ABC’平面ABC,故点C’在底面上的射影O在平面ABC’和平面ABC的交线BA上,
C’BO为所求的角。
直线与平面垂直,直线和平面所成的角是90º;
通常是从斜线上找特殊点,作平面的垂线段,构作含所求线面角的三角形求之。
求斜线与平面所成的角,关键是找准斜线段在平面内的射影;
x
O
B’
A’
C’
B
A
C
BC’与底面所成的角是
例2:如图,斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等腰直角三角形,直角边AB=AC=2cm,侧棱与底面成60º角,B’CAC,BC’=26cm,求BC’与底面所成的角。
分析:欲求BC’与底面ABC所成的角,关键在于准确地找到BC’在底面上的射影。注意到ACAB和ACBC’,即AC平面ABC’,所以,平面ABC’平面ABC,故点C’在底面上的射影O在平面ABC’和平面ABC的交线BA上, C’BO为所求的角。
解: ACAB,ACBC’, AC平面ABC’,于是平面ABC’平面ABC,作C’O平
面ABC,则点O
令C’O=x,则
在BA延长线上,C’BO就是BC’与底面所成的角,连 OC, 是侧棱与底面所成的角为60º,
C’CO
在 OBC’中 BC’=2 6(已知)
解得,
舍去)
在RtBOC中,
为什么?
x
D
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
3、二面角
二面角的大小用它的平面角来度量;
(1)定义法: 根据定义作出二面角的平面角;


A
B
求二面角常用方法有:
例 3:如图,已知四面体S-ABC中,
求二面角A-SC-B的大小
S
C
B
A
E
分析:根据题意,在棱SC 任取一点D,过D作DESC于E,作DF SB于F,连EF。由定义