文档介绍：新的积分不等式在工程设计中的应用
新的积分不等式在工程设计中的应用
摘要:结合工程实际应用,通过对一类函数积分近似计算本质特征的深入研究,介绍了新的积分不等式及其计算方法,并可确定误差大小。目的在于提高工程设计精度,同时为计算机编程建立重要的数学模型。
关键词:工程设计精度;新的积分不等式;数学模型
中图分类号:S611文献标识码: A
引言
结合工程实际应用,,使用计算机或手工计算器进行数值计算,这样把在理论上称之为求近似值的问题实质上已转换为求精确值[1-2].同时整理形成了该类函数的近似计算公式,为计算机编程提供重要的数学模型。

一、主要结果
若函数在闭区间[b,x]上连续,当时,有,,则下列积分不等式成立.

(Ⅱ)若在闭区间[b,x]上连续,当时有,则下列不等式成立.

证明1)先证式(1)

选定积分

并且x在第一象限,由文献[1-2]得

由文献[1-2],当g(x)>f(x)时,

将式(11)代入式(5)并整理得

同理由文献[1-2]得

因为

综合上述结论,将式(12)代入式(13)整理,从而

成立。
2)再证式(1)

由文献[1-2]得

对式(20)定积分采用分部积分法
设u=x,du=dx;dv=cosxdx,v=

同理由文献[1-2]得

因为

综合上述结论,将式(20)代入式(18)整理,并与式(18)比较大小,从而

成立
证明式(2)右边.
由文献[1-2]及文献中同类不等式的不等程度小于异类不等式的不等程度的性质,

现在

所以

将式(27)代入式(26),得

因为

将式(29),(30)代入式(28),从而

成立
两点补充说明:
(ⅰ)上述不等式当积分区间分得愈细,不等式的不等程度愈小,当积分上限x趋近于积分下限b时,其不等程度趋向于零.
(ⅱ)是偶函数,关于对称于原点区间上的定积分(b<x<0)可利用偶函数的性质简化计算.
二、计算实例
例1计算

解由式(1)得

即

计算误差
-=.
积分区间未等分,积分误差最大,现将积分区间3等分.

代入式(1)得

即

积分区间3等分,积分误差减小.
计算误差
-=.
若积分区间进一步分细,.
容易看出

例2计算

即

计算误差
--(-)=.
积分区间未等分,