文档介绍：1 定理 1证???? 2 222 1 ??????? x Xexf: 的概率密度函数为 X??.,~ 22??bbaNbX aY???则??.,~ 2??NX设的分布函数,随机变量对于任意的实数 Yy ,则有设0?b)()(b ayXPyF Y???)( 1)(b ayfb yf X Y????????b ayXdx xf)(????? b ayXdx xf)(?)()()(ybX aPyYPyF Y?????§ § 正态随机变量的线性函数的分布正态随机变量的线性函数的分布(即:正态随机变量的线性函数仍服从正态分布) 2 的概率密度函数为 bX aY???)(|| 1)(b ayfb yf X Y????)(2 )( 22 22 1 ???? b bayeb ????推论??.,~ 2??NX设??.1,0~*N XX????则定理 2????,,~,~ 2 2yy xxNYNXYX????, 独立,且与设??.,~ 22yxyxNYXZ????????则(即:独立的正态随机变量的和仍服从正态分布) ?? niNXXXX iiin,,2,1,~,,, 2 21???, 独立,且设???????????????? 21 2 1 1,~ i ni ni ii ni ii Xc??则定理 3 3 补充例题 ( 2009 ,4分) . ______ )( )( ),2 1()()(???????XE x xxxF X 函数,则为标准正态分布的分布其中的分布函数为设随机变量]2 1[2 1)2 1()()()( ),( 的复合函数是注意由密度与分布的关系: 的密度为分析:设 x xxxxFxf xfX????????????????????????????dx xxdx xxdx xxf EX)2 1(35 .0)()(??故只要积第二个即可, 为为奇函数对称区间积分是偶函数, 注意到 0 )()(xxx??????????????????????dttdtttdttt EX)()()()12(35 .0???)()(700????????????dtt?. 4 补充例题 .)( )()( );()()( );()( );()( )()/( )( ),( / yf xfDyfxfCyfBxfA yxf X yY YX yfxfYX YX Y X YX Y X YX YX ??密度的条件概率的条件下, 的概率密度,则在、分别表示不相关, 与服从二维正态分布,且和设随机变量独立。与由已知, 于独立,因此布情况下,不相关等效分析:因为二维正态分 YX)()/( )()/( ),()/( /xfyxf BPABPAPBAP X YX???密度与分布同理: 独立时的等价定义: 来判断。并求出及等效独立性代入注:也可根据)( ),()/( )()(),(0 /yf yxfyxf yfxfyxf r Y YX YX ??? 5 补充例题 ;2 1)1()(;2 1)0()( ;2 1)1()(;2 1)0()( ),1,1( ),1,0(????????????YXPD YXPC YXPBYXPA NN YX 则: 分别服从正态分布与设两个独立的随机变量)2,1(~ ),2,1(~ ,?????????NYXTNYXZ YXTYXZ 也服从正态分布,且差均值。因此分析:独立可加减,方 2 1)0()()()(,???????,考虑到即由题要求,标准求??zzFzZPP Z2 1)0()2 11()1()1()1(??????????? ZFZPYXPB 故选 6 用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理. 切比雪夫不等式:设随机变量 X 有数学期望 EX 及方差 DX , 则对于任何正数?,下列不等式成立: ?? 2?? DX EX XP????? 21?? DX EX XP????§ § 大数定理大数定理“大数定律”:或就X是连续型随机变量的情况证明: ?????? EX XP???? EX x dx xf)( 证 、切比雪夫不等式设 X 的概率密度为??,xf则,??? EX X???, 2 2???? EX X??,1 2 2???? EX X 7 ????????? dx xf EX x)( 1 2 2? 2? DX ?????????? EX x dx xf EX x)( 1 2 2例1 ???3?? EX XP?? 23? DX ? 1111 .09 1??当 X 的分布未知时,利用 E(X)、D(X)可以得到关于概率??)(XDk EX XP