文档介绍：第五节
上一节反问题:函数任意阶可导,怎样将其表示成为幂级数;这个幂级数收敛吗?其和函数和原函数相同吗?
和函数
求 和
展 开
用处:用多项式迫近普通函数,近似计算
函数泰勒级数
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第五节
上一节反问题:函数任意阶可导,怎样将其表示成为幂级数;这个幂级数收敛吗?其和函数和原函数相同吗?
和函数
求 和
展 开
用处:用多项式迫近普通函数,近似计算
函数泰勒级数
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第九章
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
其中
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
则在
若函数
某邻域内含有 n + 1 阶导数,
此式称为 f (x) n 阶泰勒公式 ,
该邻域内有 :
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第二章,第七节
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为f (x) 泰勒 (Taylor)级数.
则称
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林(Maclaurin)级数 .
1) 对此级数, 它收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
待处理问题 :
若函数
某邻域内含有任意阶导数,
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函数在区间上可展开成泰勒级数是指: 找到一个幂级数,级数收敛,且收敛于原函数.
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定理1 .
各阶导数,
则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数充要
条件是
f (x) 泰勒公式中余项满足:
证实:
令
设函数 f (x) 在点 x0 某一邻域
内含有
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定理2.
若 f (x) 能展成 x 幂级数, 则这种展开式是
唯一 , 且与它麦克劳林级数相同.
证: 设 f (x) 所展成幂级数为
则
显然结论成立 .
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二、函数展开成幂级数
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知,
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内
是否为
骤以下 :
展开方法
直接展开法
— 利用泰勒公式
间接展开法
— 利用已知其级数展开式
0.
函数展开
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例1. 将函数
展开成 x 幂级数.
解:
其收敛半径为
对任何有限数 x , 其余项满足
故
( 在0与x 之间)
故得级数
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例2. 将
展开成 x 幂级数.
解:
得级数:
其收敛半径为
对任何有限数 x , 其余项满足
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类似可推出:
(P263 例3(2))
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P263图9-2, 伴随n变大,更近似
局部范围
还有什么方法能够直接从上式推出?
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例3. 将函数
展开成 x 幂级数, 其中m
为任意常数 .
解: 易求出
于是得 级数
因为
级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
所以对任意常数 m,
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推导
则
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为防止研究余项 , 设此级数和函数为
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称为二项展开式 .
说明：
(1) 在 x＝±1 处收敛性与 m 相关 .
(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x m 次多项式, 上式
就是代数学中二项式定理.
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由此得
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对应
二项展开式分别为
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2. 间接展开法
利用一些已知函数展开式及幂级数运算性质,
例4. 将函数
展开成 x 幂级数.
解: 因为
把 x 换成
, 得
将所给函数展开成 幂级数.
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例5. 将函数
展开成 x 幂级数.
解:
从