文档介绍：共轭梯度法求解线性方程组一. 共轭梯度法共轭梯度法是求解正定系数矩阵线性方程组( ) 1 Ax b A ?????????为对称正定矩阵的一种迭代方法,该方法的好处是可以用于求解病态问题,大大减少了计算误差。求解方程组( 1)的本质是求二次函数 12 ( ) 2 T T x x Ax b x ?? ????????????的极小值点。由于极值的必要条件,在极小点*x 处,函数( ) x?的梯度满足( ) 0 3 x Ax b ?? ??????????????即极小点*x 是方程( 1)的解,因此线性方程组的解转化为一个求极值问题。二. 共轭的几何意义从本质上来讲,共轭的方向就是某种意义下的正交方向。当 A 为单位阵时, 共轭就是通常意义下的正交。为了便于理解,考虑二维( 2n?)情况,函数 123 T T x x b x ?? ??????????????的等值线为一族同心圆,而式( 2 )表示的函数( ) x?的等值线是一族同心椭圆。从直观上来讲,圆的切线与切点到圆心的连线正交,那么,椭圆的切线与切点到椭圆中心的连线是共轭。图 1给出了共轭的几何意义。(a) 正交方向(b )共轭方向图1正交与共轭的几何意义从图 1可以看出,如果能找到两个共轭方向,那么沿一个方向前进,找到极小点后,再沿另一个方向继续前进,找到极小点,这个极小点就是椭圆的重心,即二次函数的极小点。对于 n 维问题,只要能找到 n 个相互共轭的非零方向,从某一点出发,沿每个方向前进,找到一维极小点,然后再从这个点出发,沿第 2个方向前进找极小点,当 n 个方向都完成这一动作后,就能够得到 n 维二次函数的极小点。三. 共轭梯度算法程序流程 , A b ,置(0) (0) r b Ax ? ?, (0) (0) d r ?,精度要求?和 0k?; ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ; ( ) k T k k k k k k k k k k k T k r r x x d r r Ad d Ad ? ??? ?? ???? ( 1) ( ) 1, k k x x k n ??? ???或则停止计算( ( 1) kx ?作为方程组的解);否则,计算( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) , ; (