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例111111：
由定解问题 utt = a uxx ,0 < x < l,t > 0
⎪
⎨u(0,t) = 0,u(l,t) = 0
⎪u(x,0) = ϕ(x),u (x,0) =ψ (x)
⎩ t
∞
的解为 ⎡ nπa nπa ⎤ nπ
u(x,t) = ∑ ⎢An cos( t) + Bn sin( t)⎥ sin( x)
n=1 ⎣ l l ⎦ l
⎧ 2 l nπα
An = ϕ(α)sin( )dα
⎪ l ∫0 l
其中 ⎨
⎪ 2 l nπα
Bn = ψ (α)sin( )dα
⎩⎪ nπa ∫0 l∞ ⎡ nπa nπa ⎤ nπ
v(x,t) = ∑ ⎢An cos( t) + Bn sin( t)⎥ sin( x) （10）
n=1 ⎣ l l ⎦ l
其中 ⎧ 2 l nπ
An = [ϕ(α) − w(α)]sin( α)dα
⎪ l ∫0 l
⎨
⎪ 2 l nπ （11）
Bn = ψ (α)sin( α)dα
⎩⎪ nπa ∫0 l
于是由（6），（10），（11）各式便可得到原定解问题的
解 u = v + w
需要指出的是，即使非齐次边界条件不是常数，而是t的函
数，即 A = A ( t ), B = B ( t ) ，也不是说就一定不能在将边界条
件齐次化的同时，使方程也变为齐次的。但那样做较为麻
烦，没有必要。例2：求解定解问题
2
⎧ 2 a
⎪utt − a uxx = − (B − A),0 < x < l,t > 0 （1）
l
⎪
⎨ux (0,t) = A,ux (l,t) = B （2）
⎪
B − A 2
⎪u(x,0) = x ,ut (x,0) = 0 （3）
⎩⎪ 2l
解：令 u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) （4）
B − A
应选 w(x,t) = Ax + x2 （5）
2l
2
⎧vtt − a v xx = 0,0 < x < l, t > 0
⎪
⎪v (0, t) = v (l, t) = 0
则原定解问题化为 ⎨ x x
⎪v( x,0) = − Ax
⎪
⎩