文档介绍：李凌均
郑州大学振动工程研究所
2007年9月
第二章人工智能的数学基础
——之模糊理论
2017/11/11
郑州大学振动工程研究所
模糊理论
模糊性
描述事物的不确定性的一种度量。(另一种度量是随机性)
事物的模糊性是指客观差异的中介过渡所引起的划分上的一种不确定性,或概念上没有明显界线所引起的一种不确定性。例如,自然界中山峰的“高”与“矮”,社会生活中的“好人”与“坏人”等等,这些概念之间没有明确的分界线。从“高”到“矮”,从“好人”到“坏人”,都是从差异的一方到差异的另一方。这中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程。这种现象就叫作差异的中介过渡性。这种概念上的不明确性和中介过渡性造就出的划分上的不确定性,就叫做模糊性。这有别于随机不确定性。
2017/11/11
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模糊理论
模糊性
随机性也是重要的一种不确定性,但不能把不确定性只理解为随机性。例如抛硬币试验。我们知道,硬币的一面是徽,另一面是字,这在定义上是非常明确的。并且徽和字在概念上具有明确的界线。但在抛之前,是出现徽向上还是字向上是不能确定的。象这种不确定性就是随机性。
为了区分这两种性质截然不同的不确定性,我们将由随机性所引起的不确定性称为随机不确定性,而将由模糊性所引起的不确定性称为模糊不确定性。
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模糊理论
集合与特征函数
处理某一特定问题时,要把议题限定在一个特定的范围内,这个范围就是相应问题的论域。
在论域中把具有某种属性的事物的全体称为集合。集合中的元素具有相同的属性,就可用集合表示这一属性,集合属性也可用一个函数来描述,这个函数就是特征函数。集合与特征函数建立了一一对应关系。
特征函数表示论域U中的元素u是否属于U的子集A。若,则,若,则。显然,特征函数是论域U到{0,1}的一个映射。
这是对普通集合,我们可以用特征函数来刻画。而对于模糊集合需要用到隶属函数来描述。
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例如,设论域A={1,2,3,4,5},在论域A上的一个子集“奇数”,是一个确定性概念,可用集合A1={1,3,5}表示,其特征函数可以表示为:
但对A上的另一个子集“大”或“小”就无法用这样的特征函数来描述,因为大或小是一个模糊的概念没有一个明确的界限,很难说1,2,3就是小,4,5就是大。
这就需要用到隶属度来表示,简单的说隶属度就是表示某个元素隶属于某个集合的程度。
模糊理论
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模糊集与隶属函数
定义设U是论域, 是把任意u∈U映射为[0,1]之间某个值的函数,即
则称为定义在U上的一个隶属函数,由所确定的集合称为U上的一个模糊集, 称为u对A的隶属度。隶属度确定了某个元素u属于该模糊集合A的程度,所有元素隶属度的全体构成隶属函数。模糊集是用隶属函数表示。
书上的几个例子:
2017/11/11
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模糊集与隶属函数
例如,我们就可以用隶属度和隶属函数来表示前面例子中的“大”和“小”2个模糊集合。设A1表示“大”,A2表示“小”,则对应与A中各元素1,2,3,4,5的隶属度:
对应与2个集合的隶属函数为:
A1={0,0,,,1},A2={1,,,0,0}
学习好的隶属度表示:
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模糊集与隶属函数
模糊逻辑是无限值逻辑的推广。模糊逻辑不仅将二值逻辑的真假值域从{0,1}扩充到闭区间[0,1],而且还在无限值逻辑中插入了模糊集和模糊关系。模糊逻辑将清晰明确的命题推广到亦此亦彼的模糊命题。
设A为论域U的模糊子集,“a属于A”就是模糊命题。这个命题的值可定义为A的隶属函数在a上的值。于是,模糊命题“a属于A”的值不再是非0即1,而是闭区间[0,1]上的任何一个值。该值也不象无限值逻辑那样表示模糊命题“a属于A”是真还是假,而是表示模糊命题“a属于A”是真的程度。例如,,则模糊命题“武汉是大城市”。
为参赛选手打分实际就是确定他能够获奖的隶属度。
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模糊集的表示方法
若论域是离散的有限集,其模糊集可表示为
也可以表示为
或
或
或
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模糊集表示方法
若论域是连续的,则模糊集用函数表示。例如“年老”与“年轻”两个模糊概念可表示为
年轻
年老