文档介绍：数字通信课程论文
数字通信课程论文
12
《数字通信》课程论文
压缩感知技术综述
学院(系)：
专业而是在盲源分离中的求逆思想下。利用信号稀疏分解中已有的重构方法在概率意义上实现信号的精确重构或者一定误差下的近似重构[12]。解码所需测量值的数目远小于传统理论下的样本数。
图1 传统编解码理论的框图
数字通信课程论文
1
图2 压缩感知技术的编解码框图
2 压缩感知技术的基本理论及方法
假设有一信号，长度为，基向量为，对信号进行变换：
显然是信号在时域的表示，是信号在域的表示。信号是否具有稀疏性或者近似稀疏性是运用压缩感知技术的关键问题，若(1)式中的只有个是非零值者仅经排序后按指数级衰减并趋近于零，可认为信号是稀疏的。信号的可稀疏表示是压缩感知的先验条件。在已知信号是可压缩的前提下，压缩感知过程可分为两步[13]：
设计一个与变换基不相关的维测量矩阵对信号进行观测，得到维的测量向量。
由维的测量向量重构信号。
信号的稀疏表示
文献[3]给出稀疏的数学定义：信号在正交基下的变换系数向量为，假如对于和，这些系数满足：
则说明系数向量在某种意义下是稀疏的．文献[1]给出另一种定义：如果变换系数的支撑域的势小于等于，则可以说信号是项稀疏。如何找到信号最佳的稀疏域?这是压缩感知技术应用的基础和前提，只有选择合适的基表示信号才能保证信号的稀疏度，从而保证信号的恢复精度。在研究信号的稀疏表示时，可以通过变换系数衰减速度来衡量变换基的稀疏表示能力。Candes和Tao研究表明，满足具有幂次(power-law)速度衰减的信号，可利用压缩感知理论得到恢复[14]。
最近几年，对稀疏表示研究的另一个热点是信号在冗余字典下的稀疏分解．这是一种全新的信号表示理论：用超完备
数字通信课程论文
3
的冗余函数库取代基函数，称之为冗余字典，字典中的元素被称为原子[15]。字典的选择应尽可能好地符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制。从冗余字典中找到具有最佳线性组合的K项原子来表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。
目前信号在冗余字典下的稀疏表示的研究集中在两个方面：
(1)如何构造一个适合某一类信号的冗余字典；
(2)如何设计快速有效的稀疏分解算法。这两个问题也一直是该领域研究的热点，学者们对此已做了一些探索，其中以非相干字典为基础的一系列理论证明得到了进一步改进。西安电子科技大学的石光明教授也对稀疏表示问题进行了认真研究，并基于多组正交基级联而成的冗余字典提出一种新的稀疏分解方法。
信号的观测矩阵
用一个与变换矩阵不相关的测量矩阵对信号进行线性投影，得到线性测量值：
测量值是一个维向量，这样使测量对象从维降为维。观测过程是非自适应的即测量矩阵少的选择不依赖于信号。测量矩阵的设计要求信号从转换为的过程中，所测量到的个测量值不会破坏原始信号的信息，保证信号的精确重构。
由于信号是是可稀疏表示的，上式可以表示为下式：

其中是一个矩阵。上式中，方程的个数远小于未知数的个数，方程无确定解，无法重构信号。但是，由于信号是K稀疏，若上式中的满足有限等距性质(Restricted Isometry Property，简称RIP)，即对于任意K稀疏信号和常数，矩阵满足：
则K个系数能够从M个测量值准确重构。RIP性质的等价条件是测量矩阵和稀疏基不相关。目前，用于压缩感知的测量矩阵主要有以下几种：高斯随机矩阵，二值随机矩阵(伯努力矩阵)，傅立叶随机矩阵，哈达玛矩阵，一致球矩阵等。
信号的重构算法
目前为止出现的重构算法都可归入以下三类[16]：
数字通信课程论文
3
（1）贪婪追踪算法：这类方法是通过每次迭代时选择一个局部最优解决来逐步逼近原始信号。这些算法包括MP算法，OMP算法，分段OMP算法(StOMP)和正则化OMP(ROMP)算法。
（2）凸松弛法：这类方法通过将非凸问题转化为凸问题求解找到信号的逼近，如BP算法，内算法，梯度投影方法和迭代阀算法。
（3）组合算法：这类方法要求信号的采样支持通过分组测试快速重建，如傅里叶采样，链式追踪和HHS(Heavg Hitters on Steroids)追踪等[17]。
可以看出，每种算法都有其固有的缺点。凸松弛法重构信号所需的观测次数最少，但往往计数负担很重：贪婪追踪算法在运行时间和采样效率上都位于另两类算法之间。由上面的分析可知：重构算法和所需的观测次数密切相关。当前，压缩感知技术的信号重构问题