贝塞尔函数.ppt

文档介绍：方程的来源：
在柱坐标系中用分离变量法解方程∇2u = 0 而得到。
注意在贝塞尔方程中，因为
故 为 的奇点
一 贝赛尔方程的求解
第七章 贝塞尔函数
第一节 贝塞尔方程与贝塞尔函数
下方程的来源：
在柱坐标系中用分离变量法解方程∇2u = 0 而得到。
注意在贝塞尔方程中，因为
故 为 的奇点
一 贝赛尔方程的求解
第七章 贝塞尔函数
第一节 贝塞尔方程与贝塞尔函数
下面应用奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解．设方程的一个特解具有下列幂级数形式：
将上式代入方程得
化简后写成
要使上式恒成立，必须使得各个x次幂的系数为零，由x的最低次幂 的系数为零得
比较两式可见，只需在的右端把
换成
第一类贝塞尔函数。
讨论：
(1)当
不为整数时，例如
为分数阶贝塞尔函数：
等,
当
时，
故可以用统一地表达
故这两个特解
与
是线性无关的，由齐次线
性常微分方程的通解构成法知道方程的通解为
为两个任意常数．
根据系数关系，且由达朗贝尔比值法
故级数
和
的收敛范围为
(2)当
为正整数或零时（注:以下推导凡用
即表整数），
故有
称
为整数阶贝塞尔函数．易得
需注意在取整数的情况下，
和
线性相关，
这是因为:
可见正、负
阶贝塞尔函数只相差一个常数因子
这时贝塞尔方程的通解需要求出与之线性无关的另一个特解．
由于
是零或正整数，只要
，则
是零或负整数，而对于零或负整数的
所以上面的级数实际上只从
若令
，则
从零开始，故
开始．
函数为无穷大，
Neumann 函数曲线
我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为
是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与
线性无关．
这样我们可以得到
其中，
为欧拉常数．
例1 试证半奇数阶贝塞尔函数
而
证明：
故
同理可证
第二节 贝塞尔函数的母函数，递推关系等
例 3 求
【解】 根据公式
有
例 4 证明下式成立
特别是
【证明】利用递推公式
令
则
两边积分，故得到
其中取
，即为
为了便于工程技术上的应用,贝塞尔函数正零点的数值已被详细计算出来,并制成表格以供查阅.