文档介绍：矩阵分析第五章-精品
（3）三角不等式：对于中的任意两个向量都有
例：在维线性空间中，对于任意的向量
于是有
例 2 ：设是向量的范数，则
满足矩阵范数的定义，且是与向量范
相容的矩阵范数。
证明：首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。
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设，那么
因此的确满足矩阵范数的定义。
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最后证明与是相容的。
由上面的结论可知
这说明与是相容的。
定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范数所诱导的诱导范数或算子范数。由
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向量 P--范数所诱导的矩阵范数称为矩阵P--范数。即
常用的矩阵P--范数为，和。
定理：设，则
（1）
我们称此范数为矩阵的列和范数。
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（2）

表示矩阵的第个特征值。我们称此范数为矩阵的谱范数。
（3）
我们称此范数为矩阵的行和范数。
例 1 ：设
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计算，，和。
解：
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因为
所以。
练****设
或
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分别计算这两个矩阵的，，
和。
例 2 ：证明：对于任何矩阵都有
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如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？
定理：设是矩阵范数，则存在向量范数
使得
证明：对于任意的非零向量，定义向量范数，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且
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例：已知矩阵范数
求与之相容的一个向量范数。
解：取。设
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那么
矩阵的谱半径及其性质
定义：设，的个特征值为
，我们称
为矩阵的谱半径。
例 1 ：设，那么
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这里是矩阵的任何一种范数。
例 2 ：设是一个正规矩阵，则
证明：因为
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于是有
例 3 ：设是上的相容矩阵范数。证明：
（1）

（2）为可逆矩阵，为的特征值
则有
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例 5 ：如果，则均为可逆矩阵，且
这里是矩阵的算子范数。
矩阵序列与极限
定义：设矩阵序列，其中
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，如果个数列
都收敛，则称矩阵序列收敛。
进一步，如果
那么
我们称矩阵为矩阵序列的极限。
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例：如果设，其中
那么
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定理：矩阵序列收敛于