文档介绍：231向量数量积的物理背景与定义

（1）概念：
已知向量a和轴l，作 =a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影.
OA231向量数量积的物理背景与定义

（1）概念：
已知向量a和轴l，作 =a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影.
OA
1 1
O A
（2）正射影的数量：
向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.
记作： al
向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，
则有
1. a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.
2. 当为锐角时，数量为正值；
3. 当为钝角时，数量为负值；
4. 当为直角时，数量为0；
5. 当 = 0时，数量为 |a|；
6. 当 = 180时，数量为 |a|.
几点说明
a
l
x
l
O
A
2
O
1
A
1
a
l
a
a

（1）.向量︱OA︱=5, ＜OA, l＞=60°,
求OA在上的正射影的数量OA1
（2）.向量︱OB︱=5, ＜OB,l ＞=120°,
求OB在l上的正射影的数量OB1
(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,<a, b>=600,则向量a在向量b上的正射影的数量
解：4cos600=2
解：OA1=5COS600=5×( ½)=5/2
-5/2
（内积）
定义：叫做向量a和b的数量积（或内积）
记作：a·b .
即 a·b =
1．数量积ab等于a的长度与b在a方向上正射影的数量|b|cos的乘积.
几点说明
2．两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。
O
A
B
a
b
O
A
B
a
b
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
θ为直角时，
| b | cosθ=0
B
O
A
a
b
量的数量积为0

4. a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量.
1. ea = ae =|a|cos;
2. ab  ab = 0
3. aa = |a|2或
4. cos = ；
5.|ab| ≤ |a|.|b| .
内积为零是判定两向量垂直的条件
用于计算向量的模
用于计算向量的夹角,
以及判断三角形的形状
|a|=5，|b|=4，<a,b>=120°，求a·b.
解： ab =|a|·|b|cos<a,b>
=5×4×cos120°
= －10.
练****2
已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b
①a∥b时， a·b =±18；
②a⊥b时，a·b=0；
③ a与b的夹角是60°时，a·b=9.
进行向量数量积
计算时,既要考
虑向量的模,又
要根据两个向量
方向确定其夹角。
例3、
)
(
且方向相反
平行
与
,
2
CD
AB
∵
,
°
)
(
.
60
3
的夹角是
与
AD
AB
∵
练****3
已知|a|=3, |b|=5，且a·b=－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。
解：因为
所以a在b方向上的正射影的数量是
b在a方向上的正射影的数量是
(1)
A 锐角三角形
C 钝角三角形
D 不能确定
B 直角三角形
D
C
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 不能确定
判断下列命题是否正确
=0,则对任意向量b，有a ·b=0.
≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0.
≠0,且a · b=0,则b=0.
·b=0，则a=0或b=0.
，有a2=│a│2.
≠0,且a · b=a · c,则b=c.
( )
(×)
( )
(×)
(×)
(×)
练****4
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