文档介绍：第1页
时域离散系统的输入输出描述法—— 线性常系数差分方程
输出和输入法, 用差分方程
状态变量法, 用状态方程
线性时不变系统常用的是线性常系数差分方程
系统的描述
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一个N阶线性常系数差分方程用下式表示:
ai和bi均为常数
方程的阶数:差分方程中未知(输出)序列变量序号的最高和最低值之差。
或者
i=0
线性常系数差分方程
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线性常系数差分方程的求解
求解差分方程的基本方法有:
(1)经典解法齐次解和特解
(2)递推解法差分方程本身就是一个递推公式
(3)变换域方法 z变换
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设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述,输入序列x(n)=δ(n),求输出序列y(n)。
解: (1) 设初始条件 y(-1)=0
n=0时,y(0)=ay(-1)+δ(0)=1
n=1时,y(1)=ay(0)+δ(1)=a
n=2时,y(2)=ay(1)+δ(2)=a2
…
n=n时,y(n)=an
y(n)=anu(n)
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(2)设初始条件y(-1)=1
n=0时,y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+a
n=1时,y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a
n=2时,y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2
…
n=n时,y(n)=(1+a)an
y(n)=(1+a)anu(n)
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该例表明,对于同一个差分方程和同一个输入信号,因为初始条件不同,得到的输出信号是不相同的。
对于实际系统,用递推解法求解,总是由初始条件向n>0的方向递推,是一个因果解。但对于差分方程,其本身也可以向n<0的方向递推,得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统,还需要用初始条件进行限制。
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设差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n),式中 x(n)=δ(n),y(n)=0,n>0,求输出序列y(n)。
解由差分方程得:
y(n-1)=a-1[y(n)-δ(n)]
n=1时 y(0)=a-1[y(1)-δ(1)]=0
n=0时 y(-1)=a-1[y(0)-δ(0)]=- a -1
n=-1时 y(-2)=a-1[y(-1)-δ(-1)]=- a -2
n=-n时 y(-n-1)=-a -n-1
将-n-1用n代替,得到
y(n)=-anu(-n-1 )
…
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小结
(1)差分方程本身就是一个递推公式,可以得到因果解、非因果解。
(2)令差分方程的输入序列为δ(n),N个初始条件都为零,其解就是系统的单位取样响应。
(3)一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性非时变系统,与系统的初始状态有关。
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设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述,初始条件y(-1)=1,试分析该系统是否是线性非时变系统。
解: 设输入信号x1(n)=δ(n),x2(n)=δ(n-1)和 x3(n)=δ(n)+δ(n-1)
(1)x1(n)=δ(n),y1(-1)=1
y1(n)=ay1(n-1)+δ(n)
(2)相同,因此输出如下式:
y1(n)=(1+a)anu(n)
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(2) x2(n)=δ(n-1),y2(-1)=1
y2(n)=ay2(n-1)+δ(n-1)
n=0时,y2(0)=ay2(-1)+δ(-1)=a
n=1时,y2(1)=a y2(0)+δ(0)=1+a2
n=2时,y2(2)=a y2(1)+δ(1)=(1+ a2)a
n=n时,y2(n)=(1+ a2)a n-1
y2(n)=(1+ a2)a n-1 u(n-1)+aδ(n)
…