文档介绍：高斯消元法解线性方程组
高斯消元法解线性方程组
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高斯消元法解线性方程组
高斯消元法解线性方程组
在工程技和工程管理中有多常可以性方程型的数学模型，些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知B]化成梯形矩。因
此，我得到了求解性方程〔〕的一般方法： )
用初等行将方程〔〕的增广矩 [A B]化成梯形矩，再写出
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高斯消元法解线性方程组
梯形矩所的方程，逐步回代，求出方程的解。因它同解方程，所以也就得到了原方程〔〕的解。种方法被称高斯消元法，
〔下面例明用消元法求一般性方程解的方法和步。〕
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高斯消元法解线性方程组
x1
x22x3
x4
1
例1
解线性方程组
x1
5x2
3x3
2x4
0
3x1
x2
x3
4x4
〔〕
2
2x1
2x2
x3
x4
1
解
先写出增广矩阵[A
B]，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即
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1 1 2 1 1
1 5 3 2 0
[A B]=
3 1 1 4 2
2 2 1 1 1
1 1 2 1 1
③ ②
④ ②( 1) 0 4 1 1 1
0 0 6 6 6
0 0 2 2 2

② ①( 1)
③ ①( 3)
④ ①2
④ ③(1)
3

1 1 2 1 1
0 4 1 1 1
0 4 7 7 5
0 4 3 3 1
1 1 2 1 1
0 4 1 1 1
0 0 6 6 6
0 0 0 0 0
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高斯消元法解线性方程组
上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为
x1x2
2x3
x4
1
4x2
x3
x4
1
6x3
6x4
6
将最后一个方程乘
1，再将x4项移至等号的右端，得
6
x
x
1
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3
4
将其代入第二个方程，解得
x2
12
再将x2,x3代入第一个方程组，解得
x1
x4
12
因此，方程组〔〕的解为
x1
x4
12
x2
12
〔〕
x3
x4
1
其中x4可以任意取值。
由于未知量x4的取值是任意实数，故方程组〔〕的解有无穷多个。由此可知，
表示式〔〕表示了方程组〔〕的所有解。表示式〔〕中等号右端的未知量x4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式〔〕称为方程组〔〕的一般
解，当表示式〔〕中的未知量 x4取定一个值〔如 x4=1〕，得到方程组〔〕的一个
解〔如x1
1
，x2
1
1〕，称之为方程组〔〕的特解。
2
，x30，x4
2
注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例
1也可以将x3取作自由未知量。
如果将表示式〔〕中的自由未知量
x4取一任意常数k，即令x4=k，那么方程
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组〔〕的一般解为
x1
k
12
x2
12
，其中k为任意常数。
x3
k
1
x4
k
用矩阵形式表示为
x1
k
12
1
12
x2
12
=k
0
12
x3
k
1
〔〕
1
1
x4
k
1
0
其中k为任意常数。称表示式〔〕为方程组〔〕的全部解。
〔用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出〞方程组的解。例如，〕对例1中的阶梯形矩阵进一步化简，
1
1
2
1
1
③
1
1
1
0
1
1
6