文档介绍：. 高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型,这些模型中方程和未知量个数常常有多个,而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢?如果有解,解是否唯一?若解不唯一,解的结构如何呢?这就是下面要讨论的问题。一、线性方程组设含有 n个未知量、有 m个方程式组成的方程组 axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb nnnnmm mn nm 11112211 21122222 1122????????????????????????????() 其中系数 a ij,常数 b j都是已知数,x i是未知量(也称为未知数)。当右端常数项 b 1, b 2,…,b m不全为 0时,称方程组()为非齐次线性方程组;当b 1=b 2=…=b m= 0时,即 axaxaxaxaxaxaxaxax nnnnmm mn n 111122121122221122000 ????????????????????????????() 称为齐次线性方程组。由n个数 k 1,k 2,…,k n 组成的一个有序数组( k 1,k 2,…,k n ),如果将它们依次代入方程组( )中的 x 1,x 2,…,x n 后,( )中的每个方程都变成恒等式,则称这个有序数组(k 1,k 2,…,k n)为方程组()的一个解。显然由 x 1 =0, x 2 =0, …,x n =0组成的有序数组(0,0,…,0)是齐次线性方程组()的一个解, 称之为齐次线性方程组( )的零解,而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时,称之为非零解。(利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此,我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。) 非齐次线性方程组( )的矩阵表示形式为: AX =B 其中 A=???????????? mn mm n naaa aaa aaa??????? 21 222 21 112 11,X=???????????? nx x x? 2 1 ,B=???????????? nb b b? 2 1 称A 为方程组( )的系数矩阵,X 为未知矩阵, B 为常数矩阵。将系数矩阵 A 和常数矩阵 B放在一起构成的矩阵. ][BA =???????????? m mn mm n nb b baaa aaa aaa???????? 2 121 222 21 112 11 称为方程组( )的增广矩阵。齐次线性方程组( )的矩阵表示形式为: AX =O 二、高斯消元法(下面介绍利用矩阵求解方程组的方法,那么矩阵初等行变换会不会改变方程组的解呢?我们先看一个定理。) 若用初等行变换将增广矩阵][BA 化为][DC ,则AX=B与 CX = D是同解方程组。证由定理可知,存在初等矩阵 P 1,P 2,…,P k,使 P k…P 2P 1()AB =()CD 记P k…P 2P 1=P,则 P可逆,即 P ?1存在。设X 1为方程组 AX=B的解,即 AX 1=B 在上式两边左乘 P,得 PAX 1= PB 即CX 1=D 说明 X 1也是方程组 CX=D的解。反之,设 X 2为方程组 CX=D的解,即 CX