文档介绍：第一章行列式(一)余子式及代数余子式设有三阶行列式3332312322211312113aaaaaaaaaD?对任何一个元素ija,我们划去它所在的第i行及第j列,剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式,称它为元素ija的余子式,记成ijM例如3332232211aaaaM?,3332131221aaaaM?,2322131231aaaaM?再记ijjiijMA???)1(,?,2121MA??,3131MA?那么,三阶行列式3D定义为我们把它称为3D按第一列的展开式,经常简写成????????3111131113)1(iiiiiiiMaAaD(二)行列式的性质性质1行列式和它的转置行列式相等,即TDD?性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于kD,也就是说,(列),(列)相同,(列)的对应元素成比例,(列)(列)的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行(列)的对应元素上去,????定理1(行列式展开定理)n阶行列式nijaD?等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和,即),,2,1(2211niAaAaAaDininiiii???????或),,2,1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj???????前一式称为D按第i行的展开式,,?的任意一行(列)各元素与另一行(列))(02211kiAaAaAakninkiki??????或)(02211sjAaAaAansnjsjsj??????例1计算行列式52072325121314124??D解:观察到第二列第四行的元素为0,而且第二列第一行的元素是112?a,利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0, 2********** 11 50621505232 10503 (2)1725025 702553123122 51100 813757375D? ??? ???????? ?行行按第二列展开行行7列列按第二行展开例2计算行列式abbbbabbbbabbbbaD?4解:方法1这个行列式的元素含有文字,在计算它的值时,切忌用文字作字母,,这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为ba3?(我们把它称为行和相同行列式),我们可以先把后三列都加到第一列上去,提出第一列的公因子ba3?,再将后三行都减去第一行:3 13 1( 3)3 13 110 0 0( 3)0 0 00 0 0abbb a bbbb bbbbabb a babb abba bbbab a bbab babbbba a bbba bbab b baba babab??? ?????????方法2观察到这个行列式每一行元素中有多个b,我们采用“加边法”来计算,即是构造一个与4D有相同值的五阶行列式:11234541 10 1 0000 10 000 100 00 1000bbbb bbbbabbbabbb abbabbD babb abbbabbbab abbbbabbba ab?????? ????? ?? ?行(),,,行3))(3(baba???这样得到一个“箭形”行列式,如果ba?,则原行列式的值为零,故不妨假设ba?,即0??ba,把后四列的ba?1倍加到第一列上,可以把第一列的(-1) 00040 0 00 1 ( ) ( 3)( )0 00 00 000bbbbbababbab ab ababababab????? ?? ???????? ??? ???例3三阶范德蒙德行列式))()((1112313122322213213xxxxxxxxxxxxV?????(四)克拉默法则定理1(克拉默法则)设含有n个方程的n元线性方程组为111 122 1 1211 222 2 211 22,,nnnnn n nnn nax ax ax bax ax ax bax ax ax b? ?????