文档介绍：1
例题:
求啤佇2-工冉
解答:
例题:
r弘+-1
lim=：=
4a5+a2-十3
3x3-4x2+2
求f
lim3?十lim疋—lim1
21sizl
3+1-1
__3
lim4a3+limz2-
记作：（或）
注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有o可作为无穷小量的唯一常量。
无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，
11
为倒数关系的.
一i"关于无穷小量的两个定理
定理一：如果函数在XT*
（或x-8）时有极限A,则差£-风耳是当XT%
（或
X—8）时的无穷小量，反之亦成立。
定理二：无穷小量的有利运算定理
a）：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；b）：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c）：常数与无穷小量的积也是无穷小量.
无穷小量的比较
通过前面的学****我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
定义：设a,B都是*T时的无穷小量，且B在x的去心领域内不为零,
0
lmi—=0
a）：如果f&，则称a是B的高阶无穷小或B是a的低阶无穷小
Em一=芒工U
b）：如果果7B，则称a和B是同阶无穷小
lun—=1
片—叱J?
c）：如果，则称a和B是等价无穷小，记作：asB（a与B等价）
rX1
lim——=—
例：因为，所以当x-0时，x与3x是同阶无穷小；
lun—=0
因为为f*%，所以当x—o时，X2是3x的高阶无穷小；
「sin2T
lim=1
y-[|—|_
因为卞，所以当x—0时，sinx与x是等价无穷小。
等价无穷小的性质
lim—
..a..cilim—=lim—
6
11
存在，则
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注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。
rsinax..djva
lim=um——=—
tailbxktdb
..sin竝
lim
解答：当x—0时，sinaxsax，tanbxsbx，故:
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tank一ginx
例题：
lim
=lim
ST-J-0
=lim
解答:
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1-cosx=2sin
注：
注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。函数的一重要性质一一连续性
在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的•这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性
在定义函数的连续性之前我们先来学****一个概念一一增量
设变量X从它的一个初值X变到终值X，终值与初值的差X-X就叫做变量X的增量，记为：即：
1221
△x=x-X增量Ax可正可负.
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y=fW
我们再来看一个例子：函数在点X的邻域内有定义，当自变量X在领域内从X变到x+Ax
000
时，函数y相应地从F%）变到心网
其对应的增量为:
10
11
V二了（闻+呵一了缶）
11
11
O
这个关系式的几何解释如下图：
现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当趋向于零时，函数y对应的增量也趋向于零，即:曲二°V=
E，那末就称函数$八'在点x处连续。
0
11
函数连续性的定义：
y=f（^帆丁（对二丁（心）y=JM
设函数在点X的某个邻域内有定义，如果有。称函数在点
0
yW
X处连续，且称X为函数的的连续点.
00
下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学****一下函数左、右连续的概念：设函数在区间（a,b]
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在点b左连续•设函数mi在区间［a,b)内有定义，如果右极限曲⑴存在且等于弘)，即:
『怏刊F⑴j(口)/(工)
=，那末我们就称函数在点a右连续
一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间［a，b］连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数
注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.
注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。
通过上面的学****我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学****这个问题：函数的间断点
函数的间断点
定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点
例1：
y
正切函数
X=—
Gy
处没有定义，所以点是函数广