考研数学二真题与解析.docx

文档介绍：2005年考研数学二真题与解析
、填空题(本题共6小题，每小题4分，)
(1)设y=(1+sinx)x，则dy|x^=3(1x)2
(2)
曲线y=(一J的斜渐近线方程为x
(3)(4)
1
做
(II)存在两个不同的点七匚在(0,1),使得f‘⑴f'(匚)=1.
(20)(本题满分10分)
已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx—2ydy,并且f(1,1,)=(x,y)在椭圆域2D={(x,y)x2+匕三1}
(本题满分9分)
计算二重积分L『x2+y2—1dcr，其中D={(x,y)0菱x壬1,0菱y菱1}.
D
(本题满分9分)
确定常数a,使向量组％=(1,1,a)T,口2=(1,a,1)T,口3=(a,1,1)T可由向量组耳=(1,1,a)T,=(—2,a,4)T,%=(—2,a,a)T线性表示，但向量组哄2,亳不能由向量组％,%,%线性表示.
(23)(本题满分9分)12
6(k为常数)，且AB=O,求k
已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B=2436线性方程组Ax=0的通解.
2005年考研数学二真题解析
一、填空题(本题共6小题，每小题4分，)(1)设y=(1+sinx)x，则dy=-=ji
【分析】本题属基本题型，藉指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.
【详解】方法一:y=(1+sinx)x=exln(1*inx),于是xln(1-sinx)cosxy=e[ln(1+sinx)+x],1sinx
从而dy=y(R)dx=-兀dx.
X顼
方法二：两边取对数，lny=xln(1+sinx),对x求导，得—y=ln(1sinx)y
xcosx1sinx
于是
cosx-y=(1+sinx)[ln(1+sinx)+x],故1sinx
dy
xfy3)dx=-^dx.
3
(2)曲线y=(1+；)2的斜渐近线方程为y=x+3.
-x2
【分析】
本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可3
【详解】
因为a=lim性=lim(1=1,xfxx‘,1(1x*-x2b=limf(x)「axlimxfxi二x3
于是所求斜渐近线方程为y=x•E.
2
1xdx(3xdx=-.
°(2-x2).1-x24
【分析】作三角代换求积分即可.
【详解】令x=sint,则1xdx022(2-x).1-x
;sintcost
■O
一•2、(2「sint)cost
dt
2dcost
01cos2t
=-arctan(cost)
~20
111
(4)做分方程xy+2y=xlnx7两足y(1)=——的解为y=-xlnx——x..
939
【分析】直接套用一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解公式:
y=e~fJQ(x)e"dxdx+C],再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】原方程等价为2」y+—y=lnx,x于是通解为
--dx-dx12y=ex[InxexdxC]=—[xInxdxC]x=1xlnx-1xCW39x2
-
,…(1)=-一得C=0，故所求解为y=—xlnx—93(5)当xt0时，a(x)=kx2与P(x)
、1xarcsinxfcosx
是等价无穷小，则
3k=—
4
kx2
xarcsinx1-cosx
kx2(.1xarcsinxcosx)
1xarcsinx1-cosx——lim2kx0
32=1,得k4k
(6)设％,0(2,0(3均为3维列向量，记矩阵
A=(口1,口2,^3),B=01+。23,a1+2CC2+4以3,a1+萸2+9吹3),
如果A=1，那么B=2
【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可【详解】由题设，有
B=(：1，2，3,，12：24：3,：1•3：29：3)
八'■十「「人-(x)
,由此确定k即可.
【分析】题设相当于已知lim—^=1x「0(x)..1xarcsinx-cosx
【详解】由题设，limW^=limx0<s(x)x：。
于是有
=(：、,
-
1
1
11
1
2
3
1
4
9
11
23=
1x
2=
=2.
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、选择题(本题共8小题，每小题4分，，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)设函数f(x)=lim