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考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析
一、选择题1—,共32分.
,若,均是比高阶的无穷小,则的可能取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
【详解】,是阶无穷小,是阶无穷小,由题意可知
所以的可能取值范围是,应该选(B).

(A)(B)(C)(D)
【详解】对于,可知且,所以有斜渐近线
应该选(C)
,,则在上()
(A)当时,(B)当时,
(C)当时,(D)当时,
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.
【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话,,曲线是凹的,也就是,应该选(D)
【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话,可令,则,且,故当时,曲线是凹的,从而,即,也就是,应该选(D)
()
(A)(B) (C) (D)
【详解】曲线在点处的曲率公式,曲率半径.
本题中,所以,,
对应于的点处,所以,曲率半径.
应该选(C)
,若,则()
(A) (B) (C) (D)
【详解】注意(1),(2).
,,
.
,在D的内部具有二阶连续偏导数,且满足及,则().
(A)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上;
(B)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部;
(C)的最大值点在区域D的内部,最小值点在区域D的边界上;
(D)的最小值点在区域D的内部,最大值点在区域D的边界上.
【详解】在平面有界闭区域D上连续,,也就是,在这个点处,由条件,显然,显然不是极值点,当然也不是最值点,所以的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上.
所以应该选(A).

(A)(B) (C)(D)
【详解】
应该选(B).
,则对任意的常数,向量,线性无关是向量线性无关的
(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件
(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件
【详解】若向量线性无关,则
(,),对任意的常数,矩阵的秩都等于2,所以向量,一定线性无关.
而当时,对任意的常数,向量,线性无关,但线性相关;故选择(A).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,)
9..
【详解】.
,且,则.
【详解】当时,,由可知,即;为周期为4奇函数,故.
,则.
【详解】设,,当时,,,,所以.
,则在点处的切线方程为.
【详解】先把曲线方程化为参数方程,于是在处,,,则在点处的切线方程为,即
,若其线密度,则该细棒的质心坐标.
【详解】质心坐标.
,则的取值范围是.
【详解】由配方法可知
由于负惯性指数为1,故必须要求,所以的取值范围是.
三、解答题
15.(本题满分10分)
求极限.
【分析】.先用等价无穷小代换简化分母,然后利用洛必达法则求未定型极限.
【详解】
16.(本题满分10分)
已知函数满足微分方程,且,求的极大值和极小值.
【详解】
解:把方程化为标准形式得到,这是一个可分离变量的一阶微分方程,两边分别积分可得方程通解为:,由得,
即.
令,得,且可知;
当时,可解得,,函数取得极大值;
当时,可解得,,函数取得极小值.
17.(本题满分10分)

【详解】由对称性可得
18.(本题满分10分)
设函数具有二阶连续导数,,求的表达式.
【详解】
设,则,
;
;
由条件,
可知
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程.
对应齐次方程的通解为:
其中为任意常数.
对应非齐次方程特解可求得为.
故非齐次方程通解为.
将初始条件代入,可得.
所以的表达式为.
19.(本题满分10分)
设函数在区间上连续,且单调增加,,证明:
;
.
【详解】
(1)证明:因为,所以.
即.
(2)令,
则可知,且,
因为且单调增加,

,
也是在单调增加,则,即得到
.
20.(本题满分11分)
设函数,定义函数列
,,
设是曲线,.
【详解】
,,
利用数学归纳法可得
,
.
21.(本题满分11分)
已知函数满足,且,求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.
【详解】
由于函数满足,所以,其中为待定的连续函数.
又因为,从而可知,
得到.
令,,.
曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积为
22.(本题满分11分)
设,E为三阶单位矩阵.
求方程组的一个基础解系;
求满足的所有矩阵.
【详解】(1)对系数矩阵A进行初等行变换如下:
,
得到方程组同解方程组
得到的一个基础解系.
(2)显然B矩阵是一个矩阵,设
对矩阵进行进行初等行变换如下:
由方程组可得矩阵B对应的三列分别为
,,,
即满足的所有矩阵为
其中为任意常数.
23.(本题满分11分)
证明阶矩阵与相似.
【详解】证明:设,.
分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下:
,
所以A的个特征值为;
而且A是实对称矩阵,;