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巧用几何性质简化解析几何中的运算
田利剑
解析几何对学生而言最困难的不是问题的思路，而是运算。: .
巧用几何性质简化解析几何中的运算
田利剑
解析几何对学生而言最困难的不是问题的思路，而是运算。在解题时往
往会出现，有思路，有方法，去卩无法得到正确的答案的情形。如何简化运算将成为解有关解析几何问题的关键。一般来说解解析几何的问题有分类讨论、整体代换、巧用几何性质等简化运算的方法。本文借几个具体实例谈谈
几何性质在简化集合运算中的应用。
例1，已知抛物线y2=4x上两个动点B、C和点A(1,2),且/BAC=90°,则动直线BC必过定点()A,(2,5)B,(-2,5)C,(5,-2)D,(5,2)
解：［方法一］设B(yi/4,yi),C(y2/4,y2),BC的中点为D(xo,yo),则
yi+y2=2yo，直线BC:
2
yi
x
—2——=-——匕,即：4x-2yoy+yiy2=O①又AB?AC=0,
YiY2y2yi
44
yiy2=-4yo-2O代入①有2(x-5)-yo(y+2)=O恒过x-5=0与y+2=0的交点，选C
［方法二］BC过的定点可以通过两个特殊情况求得：AB斜率为i时，求
得一个BC的方程；AB斜率为2时，再求得一个直线BC的方程。解两直线的交点，选C
［方法三］B、C、A三点的横坐标均为正，BC过的定点的横坐标也为正，作出一个草图知，BC过定点的纵坐标为负，选C
方法一在解题时充分应解析几何设而不求的思想方法，学生较容易想到思路，但是运算较为复杂。
方法二应用特殊化的思想，在解题时对初学解析几何的学生而言，思想上要
求比较高，学生不易想到。
而方法三运用几何法，通过画草图，最大限度的简化运算，赢得了时间。
2
x
例2、已知椭圆—寸i(ai),F是它的一个焦点，P为椭圆上一点，
a
若|OF||OP|，贝UOPF的面积为.(。6全国大联考)
［方法一］因为|OF||OP|，所以点P为圆x2y2c2上一点(如图)
2
x
2
x
~2a
SOPF