文档介绍：1 第三章直线与方程 直线的倾斜角和斜率教学目标: 知识与技能正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. 理解直线的倾斜角的唯一性. 理解直线的斜率的存在性. 斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 情感态度与价值观(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学****和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具:计算机教学方法:启发、引导、讨论. 教学过程: (一) 直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有( 确定) 一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, …易见, 答案是否定的. 这些直线有什么联系呢? P c b a Y X O (1) 它们都经过点 P. (2) 它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l的倾斜角... . 特别地, 当直线 l与x 轴平行或重合时, 规定α=0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么?0 °≤α< 180°. 当直线 l与x 轴垂直时,α=90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可 2 以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 如图, 直线 a∥b∥ c, 那么它们 Y X c b a O 的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的. 所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点... P. 和一个倾斜角...... α. . (二) 直线的斜率: 一条直线的倾斜角α( α≠ 90°) 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母 k 表示, 也就是k= tan α⑴当直线 l与x 轴平行或重合时,α=0°,k= tan 0° =0; ⑵当直线 l与x 轴垂直时,α=90°,k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在, 但是斜率 k 不一定存在. 例如,α=45 °时,k= tan45 °= 1; α=135 °时,k= tan135 °= tan(180 °- 45°)=- tan45 °=- 1. 学****了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 ≠ x2, 如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1) 当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α= 90°, 直线与 x 轴垂直; (2) k与 P1、 P2 的顺序无关,即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3) 斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k= 0, 直线的倾斜角α=0° ,直线与 x 轴平行或重合. 3 (5) 求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. (四) 例题:例1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.( 用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且 x1≠ x2, 由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k= tan α<0时, 倾斜角α是钝角; 而当 k= tan α>0时, 倾斜角α是锐角; 而当 k= tan α=0时, 倾斜角α是0°. 略解: 直线 AB 的斜率 k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角. 例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2,及-3 的直线 a, b, c, l. 分析: 要画出经过原点的直线 a, 只要再找出 a 上的另外一点 的坐标可以根据直线 a的斜率确定;或者 k=tan α=1 是特殊值, 所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x