文档介绍：有关折叠问题的教学设计
温州中学李凤娟
设计思想：折叠问题是解析几何中常见的问题之一,利用几何画板可以对折叠所形成的对称关系进行分析与探索.
过点A作直线L的垂线交L与点C 以C为圆心,AC长为半径作圆，交垂线与一点A',则A'即
有关折叠问题的教学设计
温州中学李凤娟
设计思想：折叠问题是解析几何中常见的问题之一,利用几何画板可以对折叠所形成的对称关系进行分析与探索.
过点A作直线L的垂线交L与点C 以C为圆心,AC长为半径作圆，交垂线与一点A',则A'即为所要求的点 A折后的位置.
其中第二步也可由标记点C为中心，对点A进行旋转完成.
运动点A或直线L皆可观察点A'的位置变化.
类型一：已知点A与直线L,若以L为折痕，求折叠后A的位置A',利用直线L 与线段A A'的垂直平分关系可得如下作法：
1.
2.
类型二：已知点A关于直线L折叠后所对
应的点为A',此时确定折痕所在直线L的位置只需作线段AA'的垂直平分线即可。（图略）
下面以2005年广东高考最后一题说明这个问题，题面如下：
在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2,宽为1, AB、AD边分别在x 轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A 点落在线段DC上.
（I）若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程；
（II）求折痕的长的最大值.
c
D T
O （A） B X
（图5）
利用几何画板可以帮助学生更好的理解此题的不同解法.
解法一:设折叠后A点落在线段CD上的点为G（a, 1）,则该问题转化为如何由点 A、G寻找折痕L的位置。
解题关键应为A、G关于L对称，具体如下：
第一步：构造线段DC上的G,并做线段AG的垂直平分线L,则L即为折痕所在的直线
第二步：做关于G点的动画，观察折痕的位置
由图1、图2、图3可知折痕的的长度会因L的位置不同而有三种的不同求法
当L过点D、B为分界点(图略)
当点G与D点重合时如图4
当点G与C点重合时，折痕为对角线BD (图略)
解法如下：
解(I) (1)当化=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程> =!
(2)当左，0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a, 1)
所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有"k°G , k = —1, — k = —1 a = —k ' a
故G点坐标为G(-k,r)
从而折痕所在的直线L与0G的交点坐标(线段0G的中点)为 2 2 折痕所在的直线方程y-]- = k(x + -),即"愆+眩+上 2 2 2 2
由(1)(2)得折痕所在的直线L方程为：
,k2 1 y = kx-\ —
2 2
解(II)若折痕所在的直线过点D(0, 1)则k=-l;若折痕所在的直线过点B (2,
0)则k=-2+V3 ;若点G与点D (0, 1)重合，则k=0;若点G与C点重合，则k=-2.
(1)当-2 + V3<^<0 时(如图 3),直线 L 交 BC 于 N(2,2k + ^- + ^)
k2+] k1 } r- r-
y = MN2 = 22 + [———(2^ + —+ -)]2 =4 + 4摩 <4 + 4(7-4j3) = 32