文档介绍：第二章 结构矩阵分析
由于有限元方法起源于力学中的结构分析，本章的作用是通过三个典型问题说明有限元 方法应用于结构分析时的一般步骤，并借此了解有限元方法的一些基本概念。
§2-1 平面桁架 （直接法，结构矩阵分析中常用的力法，处理静定问
i
i
r r ?
u
cos a sin al
u
\lfu、
=
1
j
V j J
一 sin a cos a 1
v
= t V j J
[v
j
_ _l
j
j
单元的位移分量的坐标变换为
或缩写为
^u}= Er ]{u}
(2-1-4)
u
i
cosa
sina
0
0l
u
i
u
i
v'
Vi
=
一 sin a
cosa
0
0
V
v
iJ
=ETl
viJ
u
0
0
cosa
sin a
u
u
j
j
j
f v
0
0
一 sina
cosa
v
v
j
1—
—1
j
j
类似，{r'}与{r}之间的转换关系为
£,}= It 站 (2-1- 5 )
由于
|t ] cos a sin a
—sin a cos a (2-1-6)
是正交矩阵，因此
Er ]=
(2-1-7)
也是正交矩阵。所以有
【T ]1 =【T ]r
将(2-1-4)、(2-1-5)代入(2-1-2)有
Erl}= \k dTiy
从上式可得到
其中
(2-1-8)
b}= Hr \kdT]
(2-1-9)
-V24-724厲一4_<2一4 一 4一 444 4一一 4 <2一 4<2一47 4" 4
单元②：单元自由度 {u2 v2 u3 v3 }T
a = —90。
(2-1-11)
单元刚度矩阵为
Ik ]
EA
01
2a
(2-1-12)
—1
单元③：单元自由度 {u1 v1 u3 v3 }T
单元刚度矩阵为
Ik ]
EA
3a
10
(2-1-13)
以后将会看到，（2-1-9）是一个具有普遍意义的公式。它表明，当单元的自由度由一种 形式换成另一种形式时，单元刚度矩阵只需进行一次相似变换。对于平面桁架单元，将 （2-1-3）、（2-1-6）、（2-1-7）代入（2-1-9）可得到更便于应用的单元刚度矩阵公式
cos 2 a
cosasina
— cos 2 a
—cos a sin a
\k ]=EA
cos a sin a
sin2a
—cosasina
—sin 2 a
L
—cos2 a
—cosasina
cos 2 a
cos a sin a
(2-1-10)
—cos a sin a
— sin 2 a
cosasina
sin 2 a
（4）具体结果 由（2-1-10）可求得各单元的刚度矩阵的具体形式如下：
单元①：单元自由度 {u1 v1 u2 v2 }T , 45。单元刚度矩阵为
00
请注意，单元刚度矩阵与单元自由度中位移分量的排列次序有关。如果改动这种排列次序
例如对①号单元，将单元自由度次序由{U1 V1 u2 v2 }T改为{ u2 v2 U1 V1 }T,必然导致冈U
度矩阵（2-1-11）元素位置的变动。
（5）单元刚度矩阵的物理意义和特点
设平面桁架单元在总体坐标系中刚度矩阵的一般形式为
Ik L
k
k
k
k
11
12
13
14
k
k
k
k
21
22
23
24
k
k
k
k
31
32
33
34
k
k
k
k
41
42
43
44
由（2-1-8），当单元结点位移为{1 0 0 0 }T 时，在单元各结点上施加的力刚好为单元刚度 矩阵中的第一列：{k k k k }t。对［k ］的其他各列也可做出类似的解释。即单元刚度
11 21 31 41 矩阵的每一列相当于一组特定位移下的结点力，如表2-1 所示。由图 2-4 可以获得更为直观 的理解。
1 k31
i
k
k J
42
亠
43
h 1
1
表 2-1 平面桁架单元刚度矩阵的物理意义
单元结点位移
作用于单元的结点力
{1 0 0 0 }T
{k k k k }t
l 11 21 31 41 丿
{0 1 0 0 }T
{k k k k }t
I 12 22 32 42 J
{0 0 1 0 }