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数学证明方法

什么是数学证明？
以勾股定理为例，欧几里得几何原本（成书于公元前300年）有一个严格的证明，但巴比仑人在公元前19世纪就已知道了勾股数。在证明过程中还可以常采用“两头凑”，即同时从已知和结论出发，逐步分别进行推理和追溯，直到推得的中间结论与追溯的条件相同时为止。这样往往容易获得证明思路。然受采用“由因导果”顺序写出证明过程。
比如说要证明命题：“任何奇数乘以另一个奇数仍然是奇数”，可以直接证明如下：
任何奇数都可以写成的形式，其中是整数。任取两个奇数，都可以写作和，其中和是整数。它们的乘积为。所有能写成整数的两倍加1的数都是奇数。是整数，所以是奇数。证明完毕。
构造法
构造法一般用于证明存在性定理，运用构造法的证明称为构造性证明。具体做法是构造一个带有命题里所要求的特定性质的实例，以显示具有该性质的物体或概念的存在性。也可以构造一个反例，来证明命题是错误的。
例如证明命题“2的质数次幂减一后不总是质数”，便可用构造法：
只需证明存在某个质数，使得2的次幂减一后不是质数。为此，考察质数11。2的次幂减一等于。不是质数。因此命题得证。
非构造性证明
与构造法证明相对的是非构造性证明，即不给出具体的构造而证明命题所要求对象的存在性的证明方法。比如下面例子：
命题：存在两个无理数和，使得是有理数。
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证明：考虑，若它是有理数，则命题得证。若不是有理数，则一定是无理数。考虑它的次幂：
为有理数，命题仍然正确。
于是无论如何，都存在满足命题要求的无理数。
在这个证明里并没有给出使得是有理数的两个具体的无理数
穷举法
穷举法是一种列举出命题所包含的所有情况从而证明命题的方法。显然，使用穷举法的条件是命题所包含的可能情况为有限种，否则无法一一罗列。
例如证明“所有两位数中只有25和76的平方是以自己作为尾数”，只需计算所有两位数：10至99的平方，一一验证即可。
换质位法
在谓词逻辑里，若同时否定一个命题的主词和谓词，则其结果称为原命题的换质。若交换主词和谓词的位置，则其结果被称作换位。先换质再换位则被称为换质位，同理先换位再换质则被称为换位质。例如“所有的S是P”的换质位是“所有的不是P的不是S”。换质位法是指利用换质或换位，将一个命题改为一个与其逻辑等价的命题，因此只要证明了后者就证明了原来的命题。例如，要证明鸽笼原理：“如果n个鸽笼里装有多于n只鸽子，那么至少有一个笼子里有两只鸽子”，可以转证与其等价的逆否命题：“如果n个鸽笼的每一个中至多装有一只鸽子，那么n个鸽笼里至多装有n只鸽子”。而后者是显然的。
个案分析或分类讨论
个案分析或分类讨论，是指将结论分成有限的个案，然后逐个证明的方法。
算两次
算两次是一种对同一个量进行两种虽不同但都正确的分析，得到两个虽不同但相等的表达式的方法，常用于证明恒等式。
间接证明:
当直接证明一个数学命题有困难时，可以使用间接证法。
间接证法就是不直接证明原命题为真，而去证明与之逻辑等价的另一个命题为真，由等价性间接地证明了原命题为真的方法。
我们这里介绍间接证法中的反证法和同一法。
反证法
反证法是一种古老的证明方法，其思想