文档介绍：机械臂运动学基础
1、机械臂的运动学模型
机械臂运动学研究的是机械臂运动,而不考虑产生运动的力。运动学研究机械臂的位置,速度和加速度。机械臂的运动学的研究涉及到的几何和基于时间的内容,特别是各个关节彼此之间的关系以及随时间变化规律。
的方式也越多,即运动学逆解的数目也越多。在从多重解中选择解时,应根据具体情况,在避免碰撞的前提下通常按“最短行程”准则来选择。同时还应当兼顾“多移动小关节,少移动大关节”的原则。
n个自由度的机械臂的末端位姿由n个关节变量所决定,这n个关节变量统称为n维关节
矢量,记为q 。所有的关节矢量构成的空间称为关节空间。机械臂末端的位姿用6个变量描述,3个平移(x,y,z和3个旋转(ωx , ωy , ωz ,记x=(x,y,z, ωx , ωy , ωz ,x 是机械臂末端在基坐标空间中的坐标,所有的矢量x 构成的空间称为操作空间或作业定向空间。工作空间是操作臂的末端能够到达的空间范围,即末端能够到达的目标点集合。值得指出的是,工作空间应该严格地区分为两类:
(1 灵活(工作空间 指机械臂末端能够以任意方位到达的目标点集合。因此,在灵活空间的每个点上,手爪的指向可任意规定。
(2 可达(工作空间 指机械臂末端至少在一个方位上能够到达的目标点集合。 机械臂各关节驱动器的位置组成的矢量称为驱动矢量s ,由这些矢量构成的空间称为驱动空间。
3、Jacobian 矩阵
机械臂的Jacobian 矩阵表示机械臂的操作空间与关节空间之间速度的线性映射关系,对于
一个n 轴的机械臂,机械臂末端在基坐标系中的速度是x
Jq = 其中x 是6个元素的向量。对于6个关节机械臂Jacobian 矩阵是方阵,如果它是可逆的,则可以由机械臂的末端速度求出各个关节的速度。Jacobian 矩阵在机械臂的奇异位姿上是不可逆的。在实际应用中,当机械臂的末端位置接近奇异位置时,Jacobian 矩阵是病态的,可能导致关节速度不能正确地得到。
上式解决的是正速度问题,即已知q 和q
求末端执行器的速度x 。对于逆速度解问题,由上驱动空间 关节空间 工作空间
正向运动学
运动学逆解
式可以得到速度逆解公式为1
q
J x -= ,注意到此时需要求雅可比矩阵的逆,由线性方程组理论知上式对任意的x
,q 都有解的必要条件是雅可比矩阵的秩rank(J=6,这意味着机械臂的自由度数n ≥6。
这也说明了具有冗余自由度的机械臂,在末端位姿固定的条件下,能使关节在一个较大的关节空间的子空间中运动,有效地避开障碍或奇异位姿,并把关节位移限制在允许范围内,从而具有更大的运动灵活性。
雅可比矩阵可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比,同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。对于冗余自由度机械臂,其雅可比矩阵是长方矩阵,因J 满秩且方程个数少于未知数个数,所以有无穷多个解,这时,一般是求其中的最小范数解,或采用加权最
小范数解也就是说使T q
Dq 最小的解,其中D 是对称正定加权矩阵。此时的解是使机械臂在能量消耗最小的情况下的解。
这时,逆速度问题便转为:求q
满足1
q J x -= 且使12
T
L q Dq = 最小。实际上等同于求性能指标L 在约束条件1
q
J x -= 下的极值。应用Lagrange 乘子法,以上极值为题的解是111(T T q
D J JD J x ---= ,当D =I 时,雅可比矩阵是1(T T J J JJ +-=,称为雅可比矩阵的伪逆。
下面通过一个两自由度的平面机械臂说明雅可比矩阵的特性,根据右图中的几何关系容易求得
s s sin(,sin(
x l l c c y l l s s θθθθθθ=+==+⎧⎨
=+==+⎩两边微分后写成矩阵形式
12121
2x x d dx d dy y
y θθθθθθ∂∂⎡⎤
⎢⎥∂∂⎡⎤
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎢⎥∂∂⎣⎦
即 11212
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
简写成 dx=Jd θ,式中J 就称为机械臂的雅可比(Jacobian 矩阵,它由函数x ,y 的偏微分组成,反映了关节微小位移d θ与机械臂末端微小运动dx 之间的关系。 将两边同除以dt dt 得到:dx/dt=Jd θ/dt,
因此机械臂的雅可比矩阵也可以看做是操作空间中的速度与关
节空间中速度的线性变换。dx/dt 称为末端在操作空间中的广义速度,简称操作速度,d θ/dt 为关节速度。可以看出,雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的末端速度。
=⎢
⎥+⎣⎦
可以看出,J 阵的值随末端位置的不同而不同,即θ1和θ2的
改变会导致J 的