文档介绍：直线与圆、圆与圆的位置关系
高考理数 (课标Ⅲ专用)
A组  统一命题·课标卷题组
考点 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2018课标全国Ⅲ,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=为直径的圆C过原点O,圆心C为AB的中点,设D为切点,要使圆C的面 积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD最小,其最小值为OE(过原点O作直线2x+y-4=0的垂 线,垂足为E)= ,∴圆C面积的最小值为π =
选A.
5.(2018天津,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线 (t为参数)与该圆相交于A,B
两点,则△ABC的面积为     .
答案
解析 本题考查直线的参数方程和直线与圆的位置关系.
圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,消去参数t得直线的普通方程为x+y-2=(1,0)到直线的距 离d= = ,|AB|=2 = ,
所以△ABC的面积为 |AB|·d= × × = .
方法总结 有关直线与圆相交的计算问题,通常利用点到直线的距离和勾股定理求解.
6.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB · =0,则点A的横坐标为     .
答案 3
解析 本题考查直线与圆的位置关系.
设A(a,2a),a>0,则C ,
∴圆C的方程为 +(y-a)2= +a2,
由 得
∴ · =(5-a,-2a)· = +2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,又a>0,∴a=3,∴点A的横
坐标为3.
一题多解 由题意易得∠BAD=45°.
设直线DB的倾斜角为θ,则tan θ=- ,
∴tan∠ABO=-tan(θ-45°)=3,∴kAB=-tan∠ABO=-3.
∴AB的方程为y=-3(x-5),由 得xA=3.
7.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不 存在,说明理由.
解析 (1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),
则x0= ,y0= .
由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.
将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.
由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2= ,
所以x0= ,代入直线l的方程,得y0= .
因为 + = + = = =3x0,
所以 + = .由(*)解得t2< ,又t2≥0,所以 <x0≤AB的中点M的轨迹C的方
程为 +y2= .
(3)(2)知,曲线C是在区间 上的一段圆弧.
如图,D ,E ,F(3,0),直线L过定点G(4,0).
联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.
令判别式Δ=0,解得k=± ,由求根公式解得交点的横坐标为xH,I= ∈ ,由图可知:要使直线L
与曲线C只有一个交点,则k∈[kDG,kEG]∪{kGH,kGI},即k∈ ∪ .
考点 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且| AB|=2.
(1)圆C的 方程为     ;
(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:
① = ;② - =2;③ + =2 .
其中正确结论的序号是     .(写出所有正确结论的序号)
C组   教师专用题组
答案 (1)(x-1)2+(y- )2=2 (2)①②③
解析 (1)设圆心C(a,b),半径为r,∵圆C与x轴相切于点T(1,0),∴a=1,r=|b|,
又圆C与y轴正半轴交于两点,
∴b>0,则b=r.
∵|AB|=2,∴2=2 ,
∴r= ,
故圆C的标准方程为(x-1)2+(y- )2=2.
(2)设N(x,y),而A(0, -1),B(0, +1),
则 = = ,
又x2+y2=1,
∴ = = · =( +1)2,
∴ = +1,同理, = +1.
∴ = ,且 - = +1- =2,
+ = +1+ = +1+ -1=2 ,
故正确结论的序号是①②