文档介绍：函数对称性、周期性和奇偶
性规律总结
函数对称性、周期性和奇偶性
关岭民中数学组
(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：(奇偶性是一种特殊的对称性)
1、奇偶性：(1)奇函数关于(0, 0)对称，奇函数有关系式f(x) (x) g( x),即它们关于
x 0对称。
g( x) f ( ( x)) f (x)
3、y "*)与丫 f(2a x)关于直线x a对称。
证明：设y f(x)上任一点为(x［，yi)则yi f(x1)，所以y f (2a x)经过点 (2 a xi, yi)
.. (%, yi)与(2a %』)关于 x a 轴对称，；y"*)与丫 f (2a x)关
于直线 x a 对称。
注：换种说法：y f(x)与y g(x) f (2a x)若满足f(x) g(2a x),即它们关于 x a 对称。
4、y "*)与丫 2a f(x)关于直线y a对称。
证明：设y f(x)上任一点为(x［，yi)则yi f(x1)，所以y 2a f(x)经过点 (xi, 2a yi)
••• (Xi, yi)与(Xi,2a y1)关于 y a轴对称，「• y f (x)与 y 2a f(x)关于直线 y a对称.
注：换种说法：y f (x)与y g (x) 2a f (x)若满足f (x) g(x) 2a ,即它们关于y a对称。
5、y "*)与丫 2b f(2a x)关于点(a,b)对称。
证明：设y f (x)上任一点为(x［，yi)则yif(x1)，所以y 2b f (2a x)经过
点(2a x1,2b yi)
•. (xi，y1)与(2a xi,2b y1)关于点(a,b)对称，「. y"*)与丫 2b f (2a x)关
于点(a,b)对称.
注：换种说法：y “*)与丫 g(x) 2b f (2a x)若满足
f(x) g(2a x) 2b,即它们关于点(a,b)对称。
g(2a x) 2b f (2a (2 a x)) 2b f(x)
6、y f(a x)与y f(x b)关于直线x ■a-b对称。
2
证明：设y f (x)上任一点为(x［，yi)则yif(x1)，所以y f (a x)经过点
(a xi, yi), y f (b x)经过点(b xi, yi), / (a。％)与(b、，％)关于直线
x a-b对称，
2
a b
y f (a x)与y f (x b)关于直线x 对称。
2
三、总规律：定义在R上的函数 y f x ,在对称性、周期性和奇偶性这三条
性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。
一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
(一)、函数的周期性：对于函数y f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x T) f(x)都成立，那么就把函数 y f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
i、周期性：
(1)函数y f(x)满足如下关系式，则f(x)的周期为2T
f(x
T)
1,、1
f (x) B、f(x T)或f(x T)
f(x)f(x)
f(x
1 f(