文档介绍：函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性:(奇偶性是一种特殊的对称性)1、奇偶性:(1)奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式f(x)+f(-x)=0(2)偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式f(-x)=f(x)2、奇偶性的拓展:同一函数的对称性(1)函数的轴对称:函数y=f(x)关于x=a对称Ûf(a+x)=f(a-x)f(a+x)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x)若写成:f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)关于直线x=(a+x)+(b-x)2=a+b2对称证明:设点(x1,y1)在y=f(x)上,通过f(x)=f(2a-x)可知,y1=f(x1)=f(2a-x1),即点(2a-x1,y1)也在y=f(x)上,而点(x1,y1)与点(2a-x1,y1)关于x=a对称。得证。说明:关于x=a对称要求横坐标之和为2a,纵坐标相等。∵(a+x1,y1)与(a-x1,y1)关于x=a对称,∴函数y=f(x)关于x=a对称Ûf(a+x)=f(a-x)∵(x1,y1)与(2a-x1,y1)关于x=a对称,∴函数y=f(x)关于x=a对称Ûf(x)=f(2a-x)∵(-x1,y1)与(2a+x1,y1)关于x=a对称,∴函数y=f(x)关于x=a对称Ûf(-x)=f(2a+x)(2)函数的点对称:函数y=f(x)关于点(a,b)对称Ûf(a+x)+f(a-x)=2b上述关系也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b若写成:f(a+x)+f(b-x)=c,函数y=f(x)关于点(1a+bc,)22对称22证明:设点(x1,y1)在y=f(x)上,即y1=f(x1),通过f(2a-x)+f(x)=2b可知,f(2a-x1)+f(x1)=2b,所以f(2a-x1)=2b-f(x1)=2b-y1,所以点(2a-x1,2b-y1)也在y=f(x)上,而点(2a-x1,2b-y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称得证。说明:(a+x)与(a-x)关于点(a,b)对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如之和为2a。函数y=f(x)关于点y=b对称:假设函数关于y=b对称,即关于任一个x值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于y=b对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于y=b对称,比如圆c(x,y)=x+y-4=0它会关于y=0对称。复合函数的奇偶性的性质定理:性质1、复数函数y=f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]。复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]。性质2、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a); 复合函数y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)。性质3、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则y=f(x)关于直线x=a轴对称。复合函数y=f(x+a)为奇函数,则y=f(x)关于点(a,0)中心对称。总结:x的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程总结:x的系数一个为1,一个为-1,f(x)整理成两边,其中一个的系数是为1,另一个为-1,存在对称中心。总结:x的系数同为为1,具有周期性。(二)、两个函数的图象对称性1、y=f(x)与y=-f(x)关于X轴对称。证明:设y=f(x)上任一点为(x1,y1)(x1,-y1)则y1=f(x1),所以y=-f(x)经过点∵(x1,y1)与(x1,-y1)关于X轴对称,∴y1=f(x1)与y=-f(x):换种说法:y=f(x)与y=g(x)=-f(x)若满足f(x)=-g(x),即它们关于y=0对称。2、y=f(x)与y=f(-x)关于Y轴对称。证明:设y=f(x)上任一点为(x1,y1)则y1=f(x1),所以y=f(-x)经过点(-x1,y1)∵(x1,y1)与(-x1,y1)关于Y轴对称,∴y=f(x)与y=f(-x)关于Y轴对称。注:因为(-x1,y1)代入y=f(-x)得y1=f(-(-x1))=f(x1)所以y=f(-x)经过点(-x1,y1)换种说法:y=f(x)与y=g(x)=f(-x)若满足f(x)=g(-x),即它们关于x=0对称。g(-x)=f(-(-x))=f(x)3、y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。证明:设y=f(x)上任一点为(x1,y1)则y1=f(x1),所以y=f(2a-x)经过点(2a-x1,y1)∵(x1,y1)与(2a-x1,y1)关于x=a轴对称,∴y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。注: