量纲分析法与无量纲化.ppt

文档介绍：量纲分析法与无量纲化量纲分析法与无量纲化量纲分析(Dimensional Analysis) 是 20 世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法,它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法,通过量纲分析, 可以正确的分析各变量之间的关系,简化试验和便于成果整理。在国际单位制中,有 7个基本量:质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量,它们的量纲分别为 M、L、T、I、、J、和 N;称为基本量纲。任意一个物理量 q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积, ?无量纲化(Dimensionless) 是根据量纲分析思想,恰当地选择特征尺度, 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数,简化模型的效果。动力学物理量的量纲长度 l 的量纲记 L =[l] 质量 m的量纲记 M =[m]时间 t的量纲记 T =[t]动力学中基本量纲 M, L, T 速度 v 的量纲[v ]= LT -1导出量纲 1 2 2 mm f G r ?加速度 a的量纲[a ]= LT -2 力f的量纲[f ]= MLT -2万有引力常数 G的量纲[G]对无量纲量?,[?]=1(= M 0L 0T 0) =M -1L 3T -2 量纲齐次原则描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 2 01 ( )2 S t S vt at ? ??例:求单摆运动周期 T的表达式 l mg m 2 lTg ??设物理量 T, m, l, g 之间有关系式( , , , ) 0 f T m l g ?0)(??F 假设等价于无量刚量关系式?? 4 3 1 2 2 0 0 0 yy y y T M L LT M LT ?? 3 4 2 1 4 2 0 0 0 y y y y y M L T M LT ??? 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 [ ] [ ] [ ] [ ] T M L T m M L T l M LT g M LT ????????????单摆运动中 T, m, l, g 的一般表达式( , , , ) 0 f T m l g ? 2 3 4 1 4 00 2 0 y y y y y ???? ???? ?? 1 1 2 2 Tl g ???( ) lTg ?? 1 2 3 4 1 1 2 2 ( , , , ) (1, 0, , ) TTy y y y y ?? ?基本解 3 1 2 4 y y y y T m l g ??y 1~y 4 为待定常数, ?为无量纲量 0)(??F mjXq ni aij ij,,2,1,][ 1?????y s = ( y s1, y s2, …,y sm) T , s = 1,2, …, m-r F(? 1,? 2,…,? m-r ) = 0 与 f (q 1, q 2, ?, q m ) =0 等价, F未定 Pi定理(Buckingham) 设f(q 1, q 2, ?, q m ) = 0 是与量纲单位无关的物理定律, X 1,X 2, ?,X n 是基本量纲, n?m, q 1, q 2, ?,q m的量纲可以表示为,}{ mn ijaA ??定义量纲矩阵 rA? rank 若线性齐次方程组 0? Ay 有 m-r 个基本解,记作??? mj yjs sjq 1?为 m-r 个相互独立的无量纲量, 且则 0 0 1 1 1 0 1 1 3 1 1 1 0 1 0 2 1 2 ? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ?? ???? ???? ?? ?? ? M A L T l v g p ? ?[l ] = L, [v ] = LT -1, [?] = ML -3, [p ] = ML -1T -2, [?] = ML -1T -1, [g ] = LT -2 量纲分析示例: (