文档介绍：线性变换
一 判断题
⑴在向量空间R3中，-(Xi, X2,叮-牛，X2, X2 - H贝2是R3的一个线性变换.()•
⑵ 在向量空间R [x]中，◎ (f (x)) = f 2(x),则c是R [x]的一个线性变换. ().
n对角阵相似，f (x) e F[x],则f (A)必与某一 .
设V是数域F上的n维向量空间，be L(V), b的不同的特征根是九,九，…,九，则
1 2 t
◎可对角化的充要条件是 .
设◎是实数域F上的n维向量空间V的线性变换，如果V的任意一维子空间都是◎
的不变子空间，那么◎可以 .
设◎是实数域F上的n维向量空间V的线性变换，◎可对角化的充要条件是
◎的特征多项式的根都在F内；
;
设A g M (F),如果A的特征多项式在F内有 ,那么A可对角化.
n
设◎是实数域F上的n维向量空间V的线性变换，九是◎的一个特征根，则
dim崔 九的重数.
'3 2 7、
矩阵0 2 4的特征根是 .
0 5 丿
答案
(1)ker(b ) = {0} (2) Im(b ) = W ⑶存在V 的线性变换工，使qt =1 (4) 0,-a
(8)
'cos(e +0)
1 2
.sin(0 +0 )
12
-sin(0 +0 ))
1 2
cos(0 +0 ).
12
(9) 每个子空间都是
(10)没有 (11)可交换的
'a a
+a
2a '
'2
-1
0 '
13 11
12
11
(5)任意 (6)
a a
+a
2a
(7)
0
1
1
23 21
22
21
k a a
33 31
+a
32
2a .
31
<1
0
0丿
(12)相同 (13)非零解向量
(14)对角阵相似(15)”dim乙=n (16)对角化(17)
i=1
对于◎的特征多项式的每一个根九,特征子空间£的维数等于九的重数(18) n个不同的
单根(19) < (20) 3, 2, 5
. 单选题：
1•向量空间V （F）的零变换0的象及核的维数分别是（ ）。
n
A. 0,n B. n,0 ,0 D. n, n
）。
2•向量空间V （F）的单位变换t的象及核的维数分别是（
n
A. 1,n — 1
B. n—1,1 C. n,0 D. 0, n
3．“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（ A. 充分 B. 必要 C. 充分必要
对于域F上向量空间V的数乘变换来说，（
A. 只有一个 B. 每个子空间都是
2维平面上的旋转变换◎,（
A. 有一个 B. 有无穷多
6•若线性变换◎与t是（
A. 互逆的 B. 可交换的
），
D.
C. 不存在
）条件。
以上都不对
）不变子空间。
D. 存在且有限个
）非平凡的不变子空间。
C. 没有 D. 有有限个
则的象与核都是◎ 的不变子空间。
C. 不等的 D. 不可换的
以向量空间V的任何非零向量作为特征向量的线性变换只能是（ ）
（数乘）
设◎是一线性变换，若Ker（q ） = {o}。则下面说法正确的是（
（S2 = I）, P是幕等矩阵（P2 = P）, H是幕零矩阵（Hm = 0）且H丰0, 那么（ ）可以对角化。
S, P, H在F上均可以对角化
仅S, P在F上可以对角化
它们在F上均不能对角化。
在 F 上可以对角化
答案：
四 多选题
1设◎是n维线性空间的线性变换，则c在不同基下的矩阵().
A .一定合同 ; B . 一定相似;
C . 秩一定相等; D . 秩不一定相等.
2设c是线性空间V的线性变换，则
c (0) = 0;
c(a B + a B +••• + a |3 ) = ac(B ) + a c(B ) + a c(B )；
11 2 2 n n 1 1 2 2 n n
C .当B , B，…，B线性无关，c (B)Q (B )，…Q (B )线性无关；
1 2 n 1 2 n
，B，…，B线性相关，c(B )，c(B )，…,c(B )线性相关.
1 2 n 1 2 n
3设c是数域P上的n维线性空间V的线性变换，
%，…，Q是V的一组基，则c(a )，c(a )，…,c(a )也是V的一组基;
B . c 是满射