文档介绍：线性代数二次型及其标准形详解演示文稿
第一页，共五十一页。
（优选）线性代数二次型及其标准形
第二页，共五十一页。
其中为对称阵： .
——二次型的矩阵表示式
说明
对称阵与对应的矩阵为
第十七页，共五十一页。
⑵ 求的特征值
由，求得的特征值为
第十八页，共五十一页。
⑶ 求的两两正交的单位特征向量
对应，解方程，由
得基础解系为
将其单位化，得
第十九页，共五十一页。
对应，解方程，由
得基础解系为
将其单位化，得
第二十页，共五十一页。
对应，解方程，由
得基础解系为
将其单位化，得
第二十一页，共五十一页。
⑷ 写出正交矩阵和二次型的标准形
令矩阵
则为正交阵，于是，经正交变换
原二次型化为标准形
第二十二页，共五十一页。
例1+：求一个正交变换 x = P y ，把二次型
f = －2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
化为标准形（规范形）．
第二十三页，共五十一页。
例2 已知二次型
的秩为2.
⑴ 求参数以及此二次型对应矩阵的特征值；
⑵ 指出表示何种曲面.
解
⑴ 二次型的矩阵
因为的秩为2，
所以的秩也为2，因而
第二十六页，共五十一页。
当时，的特征多项式为
第二十七页，共五十一页。
于是，的特征值为
⑵ 由定理8知，必存在正交变换
其中为正交矩阵(不必具体求出)，使二次型
于是，曲面
这表示准线是平面上椭圆、母线平行于
轴的椭圆柱面.
在新变量下称为标准形
第二十八页，共五十一页。
第二十九页，共五十一页。
三、惯性定理
定理9
(惯性定理)
设有二次型，它
的秩为，有两个可逆变换
及
使
及
则
正数的个数相等. （证明：P275 ）
中正数的个数与
中
第四十一页，共五十一页。
说明
二次型的标准形正系数的个数称为二次型的
负系数的个数称为负惯性指数.
正惯性指数；
若二次型的正惯性指数为，秩为，则
的规范形变可确定为
只有用正交变换把二次型化为标准形，标准
形的系数才是二次型矩阵的特征值.
第四十二页，共五十一页。
例5 下列矩阵中，与矩阵
合同的矩阵是哪一个？为什么？
第四十三页，共五十一页。
解析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性
定理解题.
容易求得的特征值，
于是可知，所对应的二次型的正惯性指数
为；负惯性指数为 .
合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，
故选(B).
应选(B)，理由是:
第四十四页，共五十一页。
例5 下列矩阵中，与矩阵
合同的矩阵是哪一个？为什么？
第四十五页，共五十一页。
一、正定二次型的概念
定义设有二次型，
⑴ 如果对任何，都有
⑵ 如果对任何，都有，则称
为负定二次型，并称对称阵是负定的；
阵是正定的；
(显然
0 )，
则称为正定二次型，
并称对称
第四十六页，共五十一页。
说明
按定义，当变量取不全为零的值时，二次型
若是正定 ( ) 二次型，则它的对应值总是
正数 ( ) .
负定
负数
若是正