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(优选)线性代数二次型及其标准形
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其中为对称阵:.
——二次型的矩阵表示式
说明
对称阵与二次型一一对应;
若,
二次型的矩阵满足:
⑴的对角元是的系数;
⑵的元是系数的一半.
则对称阵称为
二次型的矩阵;二次型称为对称阵的
二次型;

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例如:二次型
的矩阵为
于是
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二、二次型的标准形
二次型研究的主要问题是:
寻找可逆变换,使
这种只含平方项的二次型称为二次型的标
准形(法式).
特别地,如果标准形中的系数只在
三个数中取值,那么这个标准形称为二次型
的规范形.
标准形的矩阵是对角阵.
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三、化二次型为标准型
,新旧二次型的矩阵的关系:
因为有
所以与的关系为:
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定义设和是阶矩阵,
若有可逆矩阵,
使
则称矩阵与合同.
说明
合同关系是一个等价关系.
设与合同,若是对称阵,则也对称阵.
对称阵一定合同相似于一个对角阵.
若与合同,则.
经可逆变换后,二次型的矩阵由变
为与合同的矩阵,且二次型的秩不变.
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把二次型化成标准形相当于把对称阵用合
同变换化成对角阵(称为把对称阵合同对角化),

对二次型作可逆变换,
相当于对对称阵作合同变换;
即寻找可逆阵,使.
定理8任给二次型,总
其中是的矩阵的特征值.
即任何二次型都可用正交变换化为标准形.
(主轴定理,)
存在正交变换,使化为标准形
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推论任给二次型,总
有可逆变换,使为规范形.
即任何二次型都可用可逆变换化为规范形.
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推论任给二次型,总
有可逆变换,使为规范形.
即任何二次型都可用可逆变换化为标准形.
:
⑴写出二次型的矩阵;
⑵求出的特征值;
⑶求出的两两正交的单位特征向量;
⑷用表示在中⑶求得的特征向量构成的矩
阵,写出所求的正交变换和二次型
的标准型.
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